度量空间和线性赋范空间.doc

第六章度量空间和线性赋范空间
第1次课
教学内容(或课题)：§6.1度量空间的进一步例子
目的要求：在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.
教学过程：
一复习第二章度量空间的概念
设是个集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足，=0;+对都成立，则称(，)为度量空间或距离空间，中的元素称为点，条件称为三点不等式.
欧氏空间对中任意两点和，规定距离为=.
空间表闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.
空间记=.设，，定义=.
二度量空间的进一步例子
例1设是任意非空集合，对于，令
=
容易验证，=0;+对都成立.称(，)为离散的度量空间.由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.
例2序列空间
令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令=.显然右边的级数总是收敛的.易知，且=0.即满足条件.
对，先证+.
实因令()，则因为，所以函数在上单调递增.又因为，所以有
=++.
再令，，，则.由上述已证的不等式，得
+.
由此推得+对都成立.故按成一度量空间.
例3有界函数空间
设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体.，定义=.显然，且=0成立，即满足条件.又，有++
所以+.即满足条件.特别当时，=.
例4可测函数空间
设为上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数.令
=.
若把中两个几乎处处相等的函数视为中同一个元素，则0且=0，即满足条件.其次(参考例2)
==+=+，对都成立.即满足条件.故按上述距离成为度量空间.
作业205.2.4.
作业提示2.与例2处理方法类似.
4.利用当时的递增性.

第2次课
教学内容(或课题)：§6.2(1)度量空间中的极限
目的要求：掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义.
教学过程：
设为度量空间，是距离，定义
=
为的以为半径的开球，亦称为的邻域.
例1设是离散的度量空间，是距离，则
=
仿§2.2-§2.3，设是度量空间中的一个子集，是中一点若存在的某一邻域，s.t.，则称为的内点.若是的内点，则称为的外点.若内既有的点又有非的点，则称为的边界点.若内都含有无穷多个属于的点，则称为的聚点.的全体聚点所成集合称为的导集，记为.称为的闭包，记为.若的每一点都是的内点，则称为开集.若，则称为闭集.
例2在欧氏空间中，记为全体有理数点的集合，为全体无理数点的集合.则集合及均无内点，均无外点;既是又是的界点，既是又是的聚点;既是又是的导集，既是又是的闭包;、既非开集又非闭集.若如同例1，将集合离散化，则都是的内点，都是的内点，因此、在离散空间中均为开集;、均无界点;之外点集合为，之外点集合为;、均无聚点，因此，，，，故、均为闭集.
设是中点列，若，s.t.
()
则称是收敛点列，是点列的极限.
收敛点列的极限是唯一的.实因若设既牧敛于又收敛，则因为，而有=0.所以=.
附注()式换个表达方式：=.即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序.更一般地有
距离是和的连续函数.
证明++-+;
++-
+.所以|-|+
例3(205.1)设为一度量空间，令
=，=.问=?
答在空间中，必有=.在离散度量空间中，当时，=，=，此时.毕.
设是度量空间中的点集，定义.
=
为点集的直径.若=，则称为中的有界集(等价于固定，，，为某正数，则为有界集).
中的收敛点列是有界集.实因，设
，则数列收敛于0,故，s.t.有.所以，有+
.
中的闭集可以用点列极限来定义：为闭集中任何收敛点列的极限都在中，即若，，，则.
具体空间中点列收敛的具体意义：
1.欧氏空间=，，为中的点列，=，=.对每个，有.
2.设，，则=在一致收敛于.
3.序列空间设=，，及=分别是中的点列及点，则依坐标收敛于.实因，若对每个有，则因收敛，所以，s.t..因为对每个，存在，s.t.当时.令，当时，成立.所以当时，成立=++=.所以
反之，若，即=.又因为，有，所以当时，0所以，，s.t.当时，成立.所以.所以，有.
4.可测函数空间设，，则因=，有.实因，若，则，有.(不妨设)，取，则.今对这样取定的及，因，故，s.t.当时，成立.所以=+++=.所以.所以.
反之，若，即.对，由于.所以，即.
以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中.
作业205.5.
作业提示均匀收敛即一致收敛.证明大意如同“序列空间”，并利