导数应用中的恒成立问题论文例探导数应用中的恒成立问题.doc

导数应用中的恒成立问题论文：例探导数应用中的恒成立问题
摘要：利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题有着非常重要的作用，为我们解决函数问题提供了有力的工具。用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以在知识的网络交汇处设计问题，在高考中占有很重要的地位。因此，在教学中，要突出导数的应用。
关键词：导数；应用；函数；恒成立
导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值、最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具，对于应用导数解决实践问题，关键是建立恰当的数学模型。本文拟就导数在解决函数应用中的恒成立问题，谈一点个人的感悟和体会。
解题规律一：要使得ｆ（ｘ）≥c（或f（x）≤c）（ｃ为常数）在某个区间［ａ，ｂ］恒成立，先求出ｆ（ｘ）在该区间上的最小值ｆ（ｘ）ｍｉｎ（或最大值ｆ（ｘ）ｍａｘ）并且令ｆ（ｘ）ｍin≥c（或f(x)max≤c）即可解决问题，
【例1】已知函数f(x)=ax3+bx2-c（其中a，b，c均为常数，xεr）.当x=1时，函数f(x)的极植为-3-c.
（1）试确定a，b的值;
（2）若对于任意x>0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范围.
解：（1）由f(x)=ax3+bx2-c，得f′(x)=3ax2+2bx，
∴■得，∴■，∴f(x)=6x3-9x2-c.
(2)∵f(x)=6x3-9x2-c，∴f′(x)=18x2-18x=19x(x-1)，
令f′(x)=0，得x=0或x=1.当x1时，f(x)单调递增；当00恒成立，∴-6x3-9x2-c≥-2c2对任意x>0恒成立，∴-3-c≥-2c2∴c≤-1或c≥■.∴c的取值范围是(-∞，-1]∪[■，+∞).
【例2】已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是r上的奇函数，当x=1时f(x)取得极值-2.
（1）求f(x)的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x1，x2ε(-1，1)，不等式|f(x1)-f(x2)|0，故f(x)在单调区间(-∞，-1)上是增函数.
当xε(-1，1)时，f′(x)0，故f(x)在单调区间(1，+∞)上是增函数.
所以，f(x)在x=-1处取得极大值，极大值为f(-1)=2.
（2）由(1)知，f(x)=x3-3x(xε[-1，1])是减函数，且
f(x)在[-1，1]上的最大值为m=f(-1)=2，最小值为m=f(1)=-2.
所以，对任意x1，x2ε(-1，1)，恒有|f(x1)-f(x2)|1时，g′(x)=1-a+lnx>1-a≥0，故g(x)在(1，+∞)上为增函数，所以，x≥1时，g(x)≥g(1)=1-a≥0，即f(x)≥ax-1
②若a>1，方程g′(x)=0的根为x0=ea-1，此时，若xε(1，x0)，则g′(x)综上，满足条件的a的取值范围是(-∞，1].
解法二：依题意得ｆ（ｘ）≥ａｘ-１在［１，+∞）上恒成立，即ａ≤ｌｎｘ+■对于ｘε［１，+∞）恒成立。令ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ+■，则ｇ′（ｘ）＝■-■＝■（１-■）.当x>1时，因为g′(x)=■（１-■）>0，故g(x)是(1，+∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(x)=1，所以a的取值范围是(-∞，1].
【例4】设函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ，若不等式ｆ（ｘ）≥ｍ+ｘ对所有的ａε［０，■］，xε(1，e2]都成立，求实数m的取值范围。
解：若不等式ｆ（ｘ）≥ｍ+ｘ对所有的ａε［０，■］，ｘε（１，ｅ２］都成立，则ａｌｎｘ≥ｍ+ｘ对所有的ａε［０，■］，ｘε（１，ｅ２］都成立，即ｍ≤ａｌｎｘ-ｘ，对所有的ａε［０，■］，ｘε（１，ｅ２］都成立，令ｈ（ａ）＝ａｌｎｘ-ｘ，则ｈ（ａ）为一次函数，ｍ≤ｈ（ａ）ｍｉｎ，∵ｘε（１，ｅ２］，∴ｌｎｘ＞０，∴ｈ（ａ）在ａε［０，■］上单调递增，∴ｈ（ａ）ｍｉｎ＝ｈ（０）＝-ｘ，∴ｍ≤-ｘ对所有的ｘε（１，ｅ２］都成立，∵１＜ｘ＜ｅ２，∴-ｅ２≤-ｘ＜-１，∴ｍ≤ｇ（-ｘ）ｍｉｎ＝-ｅ２
解题规律三：解决形如：ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）或ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）在某个区间恒成立时，求参数ａ的取值范围时可以把问题转化为ｆ（ｘ）ｍｉｎ≥ｇ（ｘ）ｍａｘ（或ｆ（ｘ）ｍａｘ≤ｇ（ｘ）ｍｉｎ），从而解决问题。
【例5】若ｆ（ｘ）＝■ｘ２-６ｘ+５ｌｎｘ，设函数ｇ（ｘ）＝ｘ+■，对于任意ｘ≠０和x1，x2ε（１，5］，有|λg(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立，求实数λ的取值范围。
解：∵ｆ（ｘ）＝■ｘ２-６ｘ+５ｌｎｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ｘ-６+■＝■＝■．
则ｘ，ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ）的变化情况如下：
则ｆ（ｘ）极大值＝ｆ（１）＝-■，ｆ（ｘ）极小值＝ｆ（５）＝-■+５ｌｎ５．
∴