复变函数留数.ppt

第五章留数1.定义2.分类定义设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数3.性质4.零点与极点的关系定理例如定理:例综合5.函数在无穷远点的状态1.留数的定义2.留数定理3.留数的计算规则4.在无穷远点的留数1.留数的定义定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。2.留数定理求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。规则I规则II事实上，由条件例1例2例3例4故由留数定理得：---该方法较规则II更简单！(2)由规则II的推导过程知，在使用规则II时，可将m取得比实际级数高，这可使计算更简单。3.在无穷远点的留数定理如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），那么f(z)在所有孤立奇点的留数和等于零。§5.3留数在定积分计算上的应用在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如（2）利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；例1.计算积分因此因此被积函数在|z|<1内只有一个极点z1，而它在这点的留数是：结论1.计算形如例2.计算积分现在估计积分结论2.应用同样得方法，我们可以计算一般形如例3.计算积分于是我们有结论3.应用同样得方法，我们可以计算一般形如其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零.其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高1次.练习.计算下列积分.例4.计算积分其中h(z)是在z=0的解析函数.因此从而本章作业类型1：例1.在扩充复平面讨论下列函数奇点类型.例3.计算.例4.判定下列级数的敛散性.例5.将下列函数在给定点展开成幂级数.