如何求解参数的矩估与极大似然估计.doc

如何求解参数的矩估与极大似然估计
一、矩估计
若统计量Ｔ作为总体参数（或g()）的估计时，Ｔ就称为（或g()）的估计量。
定义6.1矩估计量设是总体Ｘ的样本，Ｘ的分布函数依赖于参数，假定X的r阶矩为（或r阶中心矩）相应的样本矩记为如下的k个议程
（6.1）
的解，称为未知参数的矩估计。

二、最（极）大似然估计
设总体Ｘ的密度函数是参数或参数向量，是该总体的样本，对给定的一组观测值，其联合密度是的函数，又称似然函数，记为：

其中为参数集，若存在使就称是的最大似然估计值，而是的最大似然估计量。
注：１）对给定的观测值，是的函数，最大似然估计的原理是选择使观测值出现的“概率”达到最大的作为的估计。
２）最大似然估计具有不变性，即若是的最大似然估计，则的最大似然估计为。但是，矩估计不具有不变性，例如假定的矩估计，一般情形下，的矩估计不是。

1.设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为，（θ>0）
试求参数θ的矩估计和极大似然估计.
解：的概率密度为
似然函数为：

而

令

得到：=
因此得到参数的极大似然估计量为：
矩估计求法如下：
因为
令
则
从而的矩估计量为=
2.设母体ξ具有指数分布，密度函数为，（λ>0）
试求参数λ的矩估计和极大似然估计.
解：参数的矩估计求法为：因为

令：

则的矩估计量为：
极大似然估计求法如下：
的概率密度为
似然函数为：

而
令
解得的极大似然估计量为：
3.设总体X～N(μ,1),为来自X的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.
解：矩估计求法为：

令
则
极大似然估计求法为：
X的概率密度为：

似然函数为：

而

令

即

解得的极大似然估计量为：