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第七章数学解题的思维过程第一节解题过程的思维分析

解题的过程是思维的过程，其中既有逻辑思维，又有直觉思维；有分析与综合､抽象与概括､比较与类比，也有归纳与猜想､观察与尝试､想象与顿悟，是一个极其复杂的心理过程。
一、“观察----联想----转化”解题“三部曲”
1、观察是联想的基础，在观察中认识特征
观察是人们认识事物､增长知识的最基本的途径，是发现和解决问题的前提。
观察是积极的，有意识的，而不应是消极的､被动的。通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有意识地去寻找各种特征､联系，从比较中发现问题，从变化中寻找特点，特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系，同时，不仅解题开始要观察，在解题过程中也要观察，以便根据解题的不断变化，作出相应的决断。2、联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径

人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有一定的趋向性。数学解题的定向，取决于观察问题的特征所作出的相应的联想，即从问题的条件和结论出发，联想有关知识，从中寻找途径。

3、转化是解题的手段，在转化中确定方案
从前面讨论过的解题实质表明，解题过程是通过转化得以完成的。从问题的具体特征，联想有关知识后，解题就有了定向，这时需要朝这个方向去努力，寻求转化关系，使问题应用联想的知识来解决，也就是在转化中确定方案。二.解题思维过程的三层次
罗增儒教授在其专著《数学解题学引论》中，将邓克尔的三个层次在数学解题思维过程中的作用解释为：
1、一般性解决：即在策略水平上的解决，以明确解题的大致范围或总体方向，这是对思考做定向调控。
2、功能性解决：即在数学方法水平上的解决，以确定具有解决功能的解题手段。这是对解决做方法选择。
3、特殊性解决：即在数学技能水平上的解决，以进一步缩小功能性解决的途径，明确运算程序或推理步骤，这是对细节做实际完成。三、解题思维过程的预见图
数学解题是一种探索性思维。在《数学的发现》一书中，波利亚将其观点进行进一步发挥，对各个细节进行了具体分析，认为探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜测，即作出某种预见。
预见需要一定的知识准备和思维活动,波利亚将这一过程总结为一个正方形图解式,处于正方形顶点、边和中心的关键词有:动员、组织、分离、结合、回忆、辨认、重组、充实、预见.第二节数学解题的思维监控数学解题中思维监控的作用，相当于“数学运算感受器”，对运算效果作出评价，它是一种认知监控，或者是元认知.所谓认知监控是指在自己的认知系统内准确评估信息过程的能力.元认知最初被表述为“个人关于自己的认知过程及其他相关事情的知识”,是“为完成某一具体目标或任务，认知主体依据认知对象对认知过程进行主动的监测，以及连续的调节和协调”，是“个人对认知领域的知识和控制”，因此，元认知被简单地表述为“关于认知的认知”.在数学解题思维过程中，元认知集中表现为自我反省、自我调节、自我监控.第三节解题坐标系题目的条件和结论分别表示为坐标平面上的两个点.它们的存在形式本身是内容与方法的统一,原点---两个思考方向的交叉点,表示一个原则:内容与方法的统一永远是解题思考的基本出发点.

1、解题坐标系的构成
以横轴表示数学方法方面的实施（方法轴），以纵轴表示数学原理方面的应用（内容轴），题目的条件和结论（包括题目求证的结论与题目未写出的结论）分别表示为坐标平面上的两个点。它们的存在形式本身就是内容与方法的统一，两个思考方法的交叉----原点，显示这样一个原则：内容与方法的统一是我们解题思考的基本出发点。
2、解题折线
解题示意为连结条件与结论两点间的一条折线，这条折线记录了数学思维的轨迹。它告诉我们，寻找条件和结论之间的逻辑通道时解题的思考中心。在这个思考中，横轴方法的推进表示方法或技巧的运用，纵轴方法的推进表示数学内容的转化，整个解题过程就是内容与方法的联系与转化过程，就是在数学观点指导下，运用数学方法，转化数学内容的推理过程。
3、审题同心圆
审题，尽量从题意中获取更多的信息，可以表示为以条件和结论为中心的一系列同心圆。从条件出发的同心圆信息，预示可知并启发解题手段；从结论出发的同心圆信息，预告须知并诱导解题方法，两组同心圆的交接处，就是分别从条件、结论出发进行思考的结合点，也是手段与目标的统一处。

4、内容与方法的统一
在解题坐标系上，内容是提高方法的内容，方法是体现内容的方法。解题坐标系上的每一点，一方面是内容与方法的统一，另一方面是其在两轴上的投影又都不唯一。同一内容可以从不同的角度去理解，同一方法又可以在不同的地方发挥效能。这就为多角度、多侧面考虑数学对象及其之间的关系提供了理论依据。5、结论也是已知信息
这是解题坐标系的一个特点，当把结论表示为坐标系上的一点时，结论就成为已知与未知的统一了，在寻找思路的过程中，我们可以把它当做已知条件来