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随机变量的概率分布
1．已知一口袋中共有4只白球和2只红球．
（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．
解：（1）X的可能取值为4、5、6．
P(X=4)＝＝，P(X=5)＝＝，P(X=6)＝＝．
∴X的分布列为
P456X．
（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A，则
∴6次取球后恰好被停止的概率为．
2．在研究性学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H、I、J、K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．
（1）求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；
（2）设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量，求的分布列及数学期望E()．
解：（1）设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件B，那么P(B)＝＝，
所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P()＝1－P(B)＝．
（2）随机变量可能取的值为1，2．
事件“＝2”是指有两人同时承担H任务，则P(＝2)＝＝，P(＝1)＝1－P(＝2)＝．
所以，的分布列是
12P所以E()＝1+2＝．
3．某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止．
（1）求某乘客在第层下电梯的概率（i＝2，3，4，5）；
（2）求电梯在第2层停下的概率；
（3）求电梯停下的次数的数学期望．
解：（1）；（2）
（3）可取1、2、3、4四种值．；；
；．
故的分别列如下表：
1234P∴．
4．一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．
（1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；
（2）求该人两次投掷后得分的数学期望E()．
解：（1）“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C．
则．
因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为．
（2）两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4．则：，
，，
；．
∴故的分别列如下表：
01234P．
5．某大学的校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E()．
解：记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、两至少有一名考核为优秀”为事件E．则事件A、B、C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件．

（2）解：的可能取值是、2、、3．，
，
23P∴的分布列为
数学期望为