随机变量及其概率分布.doc

第二章随机变量及其概率分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布考试要求1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X≤x}(－∞<x<+∞）的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－l分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ，σ2)、指数分布及其应用.5．会求随机变量函数的分布．一、主要内容讲解1、分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°；2°是单调不减的函数，即时，有；3°，；4°，即是右连续的；5°。例2.1.向半径为r的圆内随机投一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，并求.解：表示事件“所投点落在半径为x的圆内”，〔几何概率〕故.从而＝2、离散型随机变量的分布设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布列或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足条件：与分布函数的关系：；例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X的分布律和分布函数.解：例2．3：给出随机变量的取值及其对应的概率如下：，判断它是否为随机变量的分布律。〔不是〕例2．4：设离散随机变量的分布列为，求的分布函数，并求，，。例2.5掷两颗骰子，观察其点数，则。记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数，求X、Y、Z的分布。注：可利用古典方法求其概率。问题：如何由分布函数求分布列？例2．6：注意：离散型随机变量分布函数的特征——右连续阶梯状.〔左闭右开〕3、连续型随机变量的分布设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有性质：1°。2°。与分布函数的关系：注：eq\o\ac(○,1)在的可导点处有eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3).eq\o\ac(○,4)连续型随机变量的分布函数一定连续.例2．7：设随机主量X的概率密度为其使得，则k的取值范围是[1,3]。解：利用分布函数，，注意：〔？〕；.另解：利用密度函数的图形与概率的关系较容易解决。01362/31/3离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。例2．8〔难〕：设随机变量X的绝对值不大于1，即|X|≤1，且，在事件{-1<X<1}出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求X的分布函数F(x)及P（X<0）（即X取负值的概率）。解：取的任意子区间，则有.而所以从而又，从而有.或者，即得注：这里X是混合型的随机变量，其分布函数图形如下所示八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。〔X～b(5000,0.001)近似～P(5),〕例2．10：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？解：，超几何分布从一个有限总体（N个产品，其中M个是不合格的）中进行不放回抽样（任取n个），取到的不合格产品的个数X的分布称为超几何分布，其分布列为：…，r，其中r＝min｛M，n｝。【注】当n《N时，可近似看作是有放回抽样，可以用二项分布近似。随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。〔背景〕概率模型：M个白球，N-M个黑球。从中取出n个球，有k个白球的概率。例2．11（1）：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取个球，试