《抛物线定义及其标准方程》.doc

抛物线及其标准方程教学设计第页共NUMPAGES4页

抛物线及其标准方程
一、教学目标
1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则.
2.能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。

二、教学过程
（一）、复习引入
问题1、椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率的取值范围各是什么？
平面内，到一个定点F的距离和一条定直线的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当时，轨迹是什么形状的曲线呢?
（二）.创设情境
问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC的直角边BC边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC在定直线l上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？
设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容．
师生活动：
你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗?
学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔尖滑动时，笔尖到定点F的距离等于到定直线l的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题：
（三）、新课讲授：
（1）抛物线定义：平面内，到一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，F到直线l的距离简称焦准距。
特别提醒：定点F在定直线l外。（并假设F在直线l上）
换种说法：平面内，到一个定点F的距离和一条定直线的距离的比是常数1的轨迹，叫做抛物线。
归纳总结：平面内，到一个定点F的距离和一条定直线的距离的比是常数e的轨迹有三种曲线：椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线。
思考题：一个动点满足下列条件则动点P的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线
师生活动：教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言
（2）抛物线的标准方程
类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？
设计意图：利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法（利用定义来推导），并巩固复习建系、列方程的方法步骤（建、设、限、代、化）。
师生活动：利用求曲线方程的方法步骤求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程：
如图所示，利用对称性建立直角坐标系系，
设|KF|=（>0）,
那么焦点F的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点，则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程
问题3椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？
设计意图：通过复习初中最基本的抛物线方程和，让学生观察并总结出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程．
师生活动：学生回答上述问题,老师补充，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表
图形开口方向X轴的正方向X轴的负方向Y轴的正方向Y轴的负方向方程焦点准线观察总结：抛物线的标准方程的特点
(1)都过原点；(2)对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；(3)焦准距为，半焦距等于等于一次项系数绝对值的，即（4）一次项的字母为对称轴，二次项单独在某一边，且系数为1.（5）一次项系数正负决定图像开口方向

（四）、精讲范例
例题（1）已知抛物线标准方程是，作图并求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，），求它的标准方程
设计意图：让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质.
师生活动：
（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用的代数式表示的，所以只要求出即可；
（2）抛物线标准方程过原点且对称，因此结合图像、准线和焦点坐标求出，问题即解．
解析：（1）则，焦点坐标是（-1，0）准线方程是x＝1．
（2）焦点在y轴正半轴上，＝，所以抛物线的标准方程是．

变式练习：
1、已知抛物线的标准方程风别是：（1），（2）（）
求它们的焦点坐标和准线方程．
特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程！
2、求下列抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标是；
(2)抛物线的准线方程为；
(3)过点．
设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程．或通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程．
师生活动：先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问