抛物型方程有限差分法.doc

抛物型方程有限差分法
抛物方程差分法的构造在空间方向上与椭圆方程类似，在时间方向上用一阶差商代替代替一阶微商。然后在时间方向上逐层求解。特别当空间维数较高时，可以使用局部一维格式大大降低计算量。
1.简单差分法
考虑一维模型热传导方程
(1.1)，
其中为常数。是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：
第一，初值问题（Cauchy问题）：求足够光滑的函数，满足方程（1.1）和初始条件：
（1.2）,
第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数，满足方程（1.1）和初始条件：
,
及边值条件
，
假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近
取为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，
,；,
将矩形域分割成矩形网格。其中表示网格节点；
表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；
表示位于闭矩形中的网格节点的集合；
表示-网格边界点的集合。
表示定义在网点处的待求近似解，，。
注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系（）：

可得到以下几种最简差分格式
向前差分格式

，==0
其中，。取为网比，则进一步有
=+++
此差分格式是按层计算：首先，令，得到
=+++
于是，利用初值和边值==0，可算出第一层的，。再由取，可利用和==0算出，。如此下去，即可逐层算出所有（，）。
由于第层值可以通过第层值直接得到，如此的格式称为显格式。并视为的近似值。
若记
，，
则显格式可写成向量形式

其中

若记

那末截断误差
（1.5）==。
其中是矩形，中某一点。
事实上，+
=+
=
==。
这里

故，从而

向后差分格式

，==0

其中，。取为网比，则进一步有
+=+
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一层的，，即求解方程组：
+=+
，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐层算出所有，。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视为的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。

1.2.3Grank-Nicholson法
将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：

，==0
进一步，
+=++
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一层的，，即求解方程组：
+=++
，==0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐层算出所有，。
若记

在处作Taylor展开，可以算出截断误差为
（1.7）=。

（四）Richardson格式
（1.10）+
进一步
=（+）++2
这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为。为使计算能够逐层进行，除初值外，还要用到。它可以用其他双层格式提供。
Richardson格式的矩阵形式为：

其中

2稳定性与收敛性
抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式:
(2.1)
其中，和是阶矩阵。我们假定可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显格式，等于单位矩阵。三层格式可以通过引入新变量化成两层格式。
假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，以后各层计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令和分别是以和为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则满足
（2.2）
因此，按初值稳定应该意味着。这就导致如下定义：
假设，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数和，使得以下不等式成立：
（2.2），
这里是上的某一个范数，例如

类似地，假设，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数和，使得以下不等式成立：
（2.2），
可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。因此，这时我们简单地称差分格式稳定。
前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳定的，时间步长可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson格式则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson格式是个显格式，截断误差又很小，但是却不可用。
如果某个差分格式的截断误差当和趋于0时随之趋于0，则称这个差分格式是相容的。可以证明：若差分格式是相容的和稳定的，则它是收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因此，当网比时，向前差分格式（1.4）有收敛阶。对任何网比，向后差分格式（1.6）有收敛阶，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收敛阶。