《时间序列分析》讲义.doc

第1章差分方程和滞后算子
第一节差分方程
一．一阶差分方程
假定期的（输出变量）和另一个变量（输入变量）和前一期的之间存在如下动态方程：
（1）
则此方程为一阶线性差分方程，这里假定为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数：

其中为货币量，为真实收入，为银行账户利率，为商业票据利率。
1）用递归替代法解差分方程
根据方程（1），可以得到
（2）
如果我们知道期的初始值和的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即
（3）
这个过程称为差分方程的递归解法。
2）动态乘子：
对于方程（3），如果随变动，而都与无关，则对得影响为：
或（4）
方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于，即输入的扰动和输出的观察值之间的时间间隔。
对于方程（1），当时，动态乘子按几何方式衰减到零；当，动态乘子振荡衰减到零；，动态乘子指数增加；，动态乘子发散性振荡。因此，，动态系统稳定，即给定的变化的后果将逐渐消失。，系统发散。
当时，此时，即输出变量的增量是所有输入的历史值之和。
如果产生持久性变化，即都增加一个单位，此时持久性影响为：
（5）
当时，且是，持久性影响为
（6）
如果考察的一个暂时性变化对输出的累积性影响，则和长期影响一致。
二．阶差分方程
如果动态系统中的输出依赖于它的期滞后值以及输入变量：
（7）
此时可以写成向量的形式，定义
，，
从而（7）写成向量形式：
（8）
这个系统由个方程组成。为了便于处理，将阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞后算子的办法来处理这个系统。
0期的值为：
1期的值为：
期的值为：
写成和的形式为：
（9）
该系统中的第一个方程代表了的值。令表示中第个元素，表示中第个元素等等。于是的值为：
（10）
或
（11）
表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时阶差分方程的动态乘子：
（12）
是的元素。因此对于任何一个阶差分方程，
，（13）
对于更大值，通过分析表达式（12）就非常有用。通过矩阵的特征根地进行求解。矩阵的特征根为满足下式的值：
（14）
对于一个阶系统，行列式（14）为特征根的阶多项式，多项式的个解是的个特征根。
定理1：
矩阵的特征根由满足下式的值组成：
（15）
1．具有相异特征根的阶差分方程的通解
此时存在一个阶非奇异矩阵，满足
（16）
其中是一个矩阵，主对角线由得特征根组成，其它元素为零，即
（17）
令表示的第行、第列的元素，表示的第行、第列的元素。因此方程为：
（18）
因此的第个元素为：
（19）
或者
（20）
其中。因为。将（20）代入（12），得到阶差分方程的动态乘子：
（21）
定理2：
如果矩阵的特征值是相异的，则
（22）
因此求出的特征值，就可以求出相应的，由此就可以根据（21）计算得到动态乘子。
如果所有的特征值都是实根。如果存在一个特征根的绝对值大于1，则系统是发散的。根据（21），我们发现动态乘子最终由绝对值最大的特征根的指数函数决定。
第二节滞后算子
一．滞后算子定义：
假定由序列生成新序列。其中期的值等于时期的值，，这称为对运用了滞后算子，即

这里的称为滞后算子。根据滞后算子，。通常情况下由于利用滞后算子和乘法具有同样的代数规则，因此常称为乘以。
二．一阶差分方程
利用滞后算子，可得
（23）
整理得到
（24）
（3）两边同时乘以，得到
（25）
即
（26）
可见利用滞后算子和递归方法得到的结果相同。当，很大时，根据（4）
（27）
有界序列：对于序列，如果存在一个有限数，使得
对所有的
则称该序列有界。在随机序列情况下，有界序列转为平稳随机过程。
当，对有界序列使用滞后算子，则由（6），近似为的逆。算子称为恒等算子，即。
在有界序列或平稳随机过程情况下，对于，两边同时除以，得
或（28）
三．二阶差分方程
利用滞后算子形式可得
（29）
对于滞后算子，
（30）
给定的值，建立方程组
（31）
即能求出。即求解特征方程。此时，令特征方程左右两侧为零，可得和。
定理3：将分解成

得到的和矩阵的特征值相同。这里二阶差分方程矩阵表示为：
（32）
根据第一节讨论，任意特征值都小于1，系统才是稳定的。只要存在一个特征值的模大于1，系统就是发散的。通常有两种表达方式：
1）对于由矩阵得到的特征方程，系统稳定条件为：
特征方程的根落在单位圆内。
2）对于由矩阵得到的特征方程，系统稳定条件为：
特征方程的根落在单位圆外。
对于二阶差分系统，两边同时乘以，
（33）
利用有界序列算子逆的定义
（34）
（35）
或者写成
（36）
这里、。由此计算动态算子为
（37）
四．阶差分方程
滞后算子形式