高中数学复习学(教)案(第79讲)函数的极值、最值及其应用.doc

题目(选修Ⅱ)第三章导数函数的极值、最值及应用
高考要求
1理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；
3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值
知识点归纳
1极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5求函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值
6函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
7利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

题型讲解
例1求列函数的极值：
（1）；（2）
解：（1）
令，得驻点
12+0-0+0+↗极大↘极小↗↗是函数的极大值；是函数的极小值
（2）
令，得驻点
-11-0+0-↘极大↗极小↘当时，极小=-3；当时，极大=-1值
例2设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值
解：

令
（1），由表
x（－∞，－2）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗取极小值
（2）无极值
（3）时，由表
x（－∞，－）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗

例3求抛物线上与点距离最近的点
解：设为抛物线上一点，
则
与同时取到极值
令
由得是唯一的驻点
当或时，是的最小值点，此时
即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）
例4设x＞－2，n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小
分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k到n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）过渡到（1+x）k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明但本题若用导数解就比较简单了
解：设f（x）=（1+x）n－1－nx，
当n=1时，f（x）=0，∴（1+x）n=1+nx
当n≥2，n∈N*时，
f′（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］，
令f′（x）=0，得x=0
当－2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（－2，0］上为减函数;
当x＞0时，f（x）＞0∴f（x）在［0，+∞）上为增函数
∴当x＞－2时，f（x）≥f（0）=0
∴（1+x）n≥1+nx
综上，得（1+x）n≥1+nx
点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法
附：数学归纳法的证明过程：归纳——猜想——证明法解
当n=1时，（1+x）1=1+x
当n=2时，（1+x）2=1+2x+x2≥1+2x
当n=3时，（1+x）3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2（3+x）≥1+3x
猜想：（1+x）n≥1+nx
证明：当x≥－1时，
（1）当n=1时，（1+x）n≥1+nx成立
（2）假设n=k时，（1+x）k≥1+kx成立，
那么（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）≥（1+x）·（1+kx）=