高中数学复习学案(第79讲)函数的极值、最值及其应用人教版选修2.doc

用心爱心专心第三章导数函数的极值、最值及应用选修2高考要求1理解可导函数的单调性与其导数的关系；2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值知识点归纳1极大值：一般地设函数f(x)在点x0附近有定义如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值记作y极大值=f(x0)x0是极大值点2极小值：一般地设函数f(x)在x0附近有定义如果对x0附近的所有的点都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值记作y极小值=f(x0)x0是极小值点3极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值如下图所示是极大值点是极小值点而>（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部也可能在区间的端点4判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足且在的两侧的导数异号则是的极值点是极值并且如果在两侧满足“左正右负”则是的极大值点是极大值；如果在两侧满足“左负右正”则是的极小值点是极小值5求函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点顺次将函数的定义区间分成若干小开区间并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号如果左正右负那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负则f(x)在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个而函数的极值可能不止一个也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值题型讲解例1求列函数的极值：（1）；（2）解：（1）令得驻点12+0-0+0+↗极大↘极小↗↗是函数的极大值；是函数的极小值（2）令得驻点-11-0+0-↘极大↗极小↘当时极小=-3；当时极大=-1值例2设为自然对数的底a为常数且）取极小值时求x的值解：令（1）由表x（－∞－2）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗取极小值（2）无极值（3）时由表x（－∞－）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗例3求抛物线上与点距离最近的点解：设为抛物线上一点则与同时取到极值令由得是唯一的驻点当或时是的最小值点此时即抛物线上与点距离最近的点是（22）例4设x＞－2n∈N*比较（1+x）n与1+nx的大小分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明但证明由n=k到n=k+1时（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）过渡到（1+x）k时不等方向不确定故需按1+x的符号讨论证明但本题若用导数解就比较简单了解：设f（x）=（1+x）n－1－nx当n=1时f（x）=0∴（1+x）n=1+nx当n≥2n∈N*时f′（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］令f′（x）=0得x=0当－2＜x＜0时f′（x）＜0f（x）在（－20］上为减函数;当x＞0时f（x）＞0∴f（x）在［0+∞）上为增函数∴当x＞－2时f（x）≥f（0）=0∴（1+x）n≥1+nx综上得（1+x）n≥1+nx点评：构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法附：数学归纳法的证明过程：归纳——猜想——证明法解当n=1时（1+x）1=1+x当n=2时（1+x）2=1+2x+x2≥1+2x当n=3时（1+x）3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2（3+x）≥1+3x猜想：（1+x）n≥1+nx证明：当x≥－1时（1）当n=1时（1+x）n≥1+nx成立（2）假设n=k时（1+x）k≥1+kx成立那么（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）≥（1+x）·（1+kx）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x∴当n=k+1时（1+x）n≥1+nx成立由（1）（2）可知当x≥－1时对n∈N*（1+x）n≥1+nx当－2＜x＜－1时当n=1时（1