实变函数综合练习题.doc

实变函数综合练习题
《实变函数》综合训练题（一）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（A）
（A）（B）
（C）（D）
2、若是开集，则（B）
（A）（B）的内部（C）（D）
3、设是康托集，则（C）
（A）是可数集（B）是开集（C）（D）
4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（D）
（A）是上的连续函数（B）是上的单调函数
（C）在上一定不可积（D）是上的可测函数
5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（A）
（A）在上，不一定恒为零（B）在上，
（C）在上，（D）在上，
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的无理点全体，则（C、D）
（A）是可数集（B）是闭集
（C）中的每一点都是聚点（D）
2、若至少有一个内点，则（B、D）
（A）可以等于零（B）
（C）可能是可数集（D）是不可数集
3、设是可测集，则的特征函数是（A、B、C）
（A）上的简单函数（B）上的可测函数
（C）上的连续函数（D）上的连续函数
4、设在可测集上可积，则（B、D）
（A）和有且仅有一个在上可积
（B）和都在上可积
（C）在上不一定可积
（D）在上一定可积
5、设是的单调函数，则（A、C、D）
（A）是的有界变差函数（B）是的绝对连续函数
（C）在上几乎处处连续（D）在上几乎处处可导
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、设为全集，，为的两个子集，则。
2、设，如果满足，则是闭集。
3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。
4、设是无限集，则的基数（其中表示可数基数）。
5、设，为可测集，，则。
6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有
是可测集，则称是可测集上的可测函数。
7、设是的内点，则。
8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。
9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上不一定可积。
10、若是上的绝对连续函数，则一定是上的有界变差函数。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。（×）
2、任何无限集均含有一个可数子集。（√）
3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（√）
4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（×）
5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。（×）
五、简答题
1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
答：不一定为开集。例如取上一列开集为，
而是闭集，不是开集。
2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？
答：①简单函数是可测函数；
②可测函数不一定是简单函数；
③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。
3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？
答：①单调函数是有界变差函数；
②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。

六、计算题
1、设，其中是有理数集，求。
解：因为，所以于，于是

2、求。
解：因为
而
所以，由控制收敛定理

七、证明题
1、证明集合等式：
证明：（方法1）对任意，有且，即或且
所以或，即。
反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，
综上所述，。
（方法2）。
2、设是中的有理点全体，则是可测集且。
证明：因为是可数集，则
对任意，取开区间，，显然它们把覆盖住。
于是。让得，，从而是可测集且。
3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。
证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。
4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，，如果，则。
证明：因为且，所以
从而由题设
又在上的可积，且

所以由积分的绝对连续性得

即。
5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，
。
证明：记
，其中
显然在上，，且

于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。

《实变函数》综合训练题（二）
（含解答）
一、选择题（单选题）
1、下列集合关系成立的是（A）
（A）（B）
（C）（D）
2、若是闭集，则（B）
（A）的内部（B）（C）（D）
3、设是有理数集，则（C）
（A）（B）是闭集（C）（D）是不可数集
4、设为上的连续函数，为任意实数，则（D）
（A）是开集（B）是开集
（C）是闭集（D）是开集
5、设是中的可测集，，都是上的可测函数，若
，
则（A）
（A）于（B）在上，
（C）在上，（D）在上，
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、设是中的有理点全体，则（C、D）
（A）是闭集（B）中的每一点都是内点
（C）是可数集（D）
2、若的外测度为零，则（B、D）
（A）一定是可数集（B）一定是可测集
（C）不一定是可数集（D）
3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函