数学建模之统计回归模型.doc

数学建模大作业

统计回归模型

摘要
某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例4，做出了如下的统计回归模型。
在问题一中，我们使用MATLB数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发现有很好的拟合性。但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。
在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。
在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。
关键词：销售额、回归模型、自相关性
一、问题提出
某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）.
画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。
监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。
建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。
年季公司销售额行业销售额年季公司销售额行业销售额1977

1978

19791
2
3
4
1
2
3
4
1
21
2
3
4
5
6
7
8
9
1020.96
21.40
21.96
21.52
22.39
22.76
23.48
23.66
24.10
24.01127.3
130.0
132.7
129.4
135.0
137.1
141.2
142.8
145.5
145.31979

1980

19813
4
1
2
3
4
1
2
3
411
12
13
14
15
16
17
18
19
2024.54
24.30
25.00
25.64
26.36
26.98
27.52
27.78
28.24
28.78148.3
146.6
150.2
153.1
157.3
160.7
164.2
165.6
168.7
171.7
二、基本假设
假设一：模型中ε（对时间t）相互独立。
三、符号说明
公司销售额：（百万）
行业销售额：（百万）
概念介绍：
1.自相关：自相关（autocorrelation），又称序列相关（serialcorrelation）是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。即不同观测点上的误差项彼此相关。
2．置信区间：如果P（）=1-α，α=0.1或0.05，则称区间[a,b]为的置信度为1-α的置信区间。
3.时间序列：时间序列法是一种定量预测方法，亦称简单外延方法。时间序列即按时间的推移或排布会对规律的变化有所影响。
四、问题分析
问题一：表中的数据是以时间为顺序的。由于前期的销售额对后期的投资一般有明显的影响，从而对后期的后期的销售额造成影响。因此在此模型中应考虑到存在自相关，我们可以先建立基本的回归模型，然后再进行自相关性诊断，并建立新的回归模型。
问题二：在问题一之后，就可以接着求出问题二，然后利用DW检验诊断随机误差项的自相关性。
问题三：进行了自相关诊断后，将自相关加入模型中，建立消除了随机误差项自相关性的回归模型。
五、模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1问题一的分析
表中数据是以时间为序的，建立基本的回归模型。
5.1.2问题一模型的建立
基本回归模型：
设该公司第时间的公司销售额为，行业销售额为。为了大致分析和的关系，首先利用表中的数据作出对关系作出散点图，如下（见图中的“+”）：做散点图：

可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此本题用线性回归模型拟合非常合适。
5.2问题二
5.2.1问题二的分析
从问题一中的图形可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此可建立一元线性回归模型。
5.2.2问题