第三章 晶格振动与晶体的光学性质.ppt

第三章晶格振动与晶体的光学性质其中为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原子的运动方程为二、格波的简约性质、简约区从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中x是可以连续取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），这是一系列周期排列的点。由此可知，一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变2的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）这表明，引入周期性边界条件后，波数q不能任意取值，只能取分立的值。
在q轴上，相邻两个q的取值相距，
即在q轴上，每一个q的取值所占的空间为四、格波的简谐性、声子概念这是n(t)在q空间中的Fourier展开式。将上式代入系统总机械能的表达式中，再利用线性变换系数的正交条件：经变换后，Q(q,t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。
一个波数为q的格波相当于一个频率为(q)的简谐振子，我们将晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的正则振动称为一种振动模式。对于由N个原子组成的一维单原子链，共有N种格波，即有N个振动模式，就相当于有N个独立的简谐振子。
根据量子力学理论，简谐振子的能量是量子化的，第j个振动模式的简谐振子的能量本征值为：声子的概念：
声子是晶格振动的能量量子。
声子具有能量，也具有准动量，它的行为类似于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成的一维单原子链，有N种格波，即有N种声子。当一种振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有nj个声子。当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量，若电子交给晶格的能量，称为发射一个声子；若电子从晶格获得的能量，则称为吸收一个声子。
声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，声子数并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
对于由N个原子组成的一维单原子链，有N个振动模式，即有N种不同的声子。因此，晶格振动的总能量为：§3.2一维双原子链的振动若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：久期方程：由于cos(aq)以2为周期，所以是q的周期函数，其周期为2/a。二、光学波和声学波的物理图象1.光学波（opticalbranch）＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型。当q＝0时，＋有极大值：2.声学波（acousticbranch）当q0时，原胞内两种原子的振动位相完全相同。这与连续介质的弹性波＝vq是一致的。当q＝0时，－＝0；当时三、周期性边界条件推广：若每个原胞中有s个原子，则一维晶格振动每一个q对应有1个声学波（对应于原胞的整体振动）和s-1个光学波。
晶格振动格波的总数＝sN＝晶体链的自由度数。0力常数另外，由于晶格的周期性，力常数这是关于A1、A2和A3的线性齐次方程组，有非零解的条件为：推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波（一支纵波，两支横波），3(s－1)支为光学波。上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl都成立，于是有：这表明在q空间中，j(q)是以倒格矢Gn为周期的周期函数。所以，在三维情况下我们仍可将波矢q限制在简约区或第一布里渊区中。
若将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对于的两点间应满足关系：——布里渊区边界面方程显然，简约区就是倒易空间中的Wibner－Seitz原胞。
这种几何作图法不仅可以给出简约区，即第一布里渊区，也给出了简约区以外的许多封闭区域，它们由内向外依次称为第二布里渊区、第三布里渊区等。可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b。
布里渊区序号的确定：从某个区域中的任一点到原点联成一条直线，若此直线穿过n个布里渊区边界面，那么，这个区域就是第n+1个布里渊区。三、周期性边界条件令在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：对于简单晶格，每一个q的取值对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）。