第九节 随机变量的数字特征、正态分布.pdf

第九节随机变量的数字特征、正态分布

知识点预习

1．离散型随机变量的数学期望与方差

(1)数学期望

(2)方差

2．二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差
期望方差

变量X服从二点分布
X～B(n，p)
X服从参数为N，M，

n的超几何分布

3.正态曲线

4．正态曲线的性质

5．正态变量在三个特定区间内取值的概率值

1

预习练习题

1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量
的平均程度越小．()
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．()
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正
态分布．()
(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()
2、(教材改编)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ78910
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为()
Px0.10.3y
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9
3、设样本数据x，x，„，x的均值和方差分别为1和4，若y＝x＋a(a为非零常数，i＝1,2，„，10)，
1210ii
则，，„，的均值和方差分别为()
y1y2y10
A．1＋a,4B．1＋a,4＋aC．1,4D．1,4＋a
1
4、设随机变量的分布列为(＝)＝(＝2,4,6,8,10)，则()等于()
XPXk5kDX

A．5B．8C．10D．16
5、设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是()
A．0.2B．0.8
C．0.2或0.8D．0.16
6、已知X的分布列为
X－101
111

P236

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()
7
．．4
A3B

C．－1D．1
7、若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()

A．3×2－2B．2－4

C．3×2－10D．2－8
8、有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则
D(X)＝________.

9、某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，
2
则重量在(98.8,101.2)的糖包数量为________包．
11、抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数
的均值为________．
例题选讲
例1、某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取
钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决
定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．

例2、设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，
取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取
出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
5
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若(η)＝，(η)＝
E3D
5
，求∶∶.
9abc

3

例3、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障
149
的概率分别为和.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
10p50p

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．

例4、计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年
入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，
不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应
段的概率，并假设各年的入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X4