“双勾函数”的性质及应用.doc

“双勾函数”的性质及应用
问题引入：求函数的最小值．
问题分析：将问题采用分离常数法处理得，，此时如果利用均值不等式，即，等式成立的条件为，而显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不是，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．
一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质
1．“双勾函数”的定义
我们把形如（为常数，）的函数称为“双勾函数”．因为函数（为常数，）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．
2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像

二次函数图像

“双勾函数”图像

3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质
（1）“二次函数”的性质
①当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值．
②当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．
（2）“双勾函数”性质的探究
①当时，在左侧，随着的增大而减小；在的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值．
②当时，在的左侧，随着的增大而增大；在的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．
综上知，函数在和上单调递增，在和上单调递减．
下面对“双勾函数”的性质作一证明．
证明：定义法．设R，且，则
．
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？
首先，∴就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到两个分界点，．这样就把的定义域分为，，，四个区间，再讨论它的单调性．
设，则，，，
∴．
∴，即．
∴在上单调递减．
同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减．
故函数在和上单调递增，在和上单调递减．
性质启发：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．
4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比
（1）“二次函数”的区间最值
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程，
①当时，抛物线开口向上．
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
②当时，抛物线开口向下．
若必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．
以上，作图可得结论．
①当时，
；
．

图1

图2

图3

图4

图5

②当时，
；
．

图6

图7

图8

图9

图10

（2）“双勾函数”的区间最值
设，求在上的最大值与最小值．
分析：①当时，其图像为第一象限部分．
若，则函数必在界点处取得最小值，最大值需比较两个端点处的函数值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
②当时，其图像为第三象限部分．
若，则函数必在界点处取得最大值，最小值需比较两个端点处的函数值；
若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．
以上，作图可得结论．
①当时，

图11
图12
图13

②当时，

图14

图15

图16

二、实践平台
例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在吨至吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为
．问：
（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；
（2）每吨平均出厂价为万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．
分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．
解：（1）由题意可知，每吨平均成本为万元．
即，因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．
所以当时，函数有最小值为（万元），
所以当年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为万元．
（2）设年获得总利润为万元，
则，
当，，
故当年产量为吨时，可获得最大利润万元．
评注：本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．
例