“双勾函数”性质及应用.doc

/NUMPAGES9“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，，此时如果利用均值不等式，即，等式成立的条件为，而显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不是，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1．“双勾函数”的定义我们把形如（为常数，）的函数称为“双勾函数”．因为函数（为常数，）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像二次函数图像“双勾函数”图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质（1）“二次函数”的性质①当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值．②当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．（2）“双勾函数”性质的探究①当时，在左侧，随着的增大而减小；在的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值．②当时，在的左侧，随着的增大而增大；在的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．综上知，函数在和上单调递增，在和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设R，且，则．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先，∴就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令，可得到，因此又找到两个分界点，．这样就把的定义域分为，，，四个区间，再讨论它的单调性．设，则，，，∴．∴，即．∴在上单调递减．同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减．故函数在和上单调递增，在和上单调递减．性质启发：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比（1）“二次函数”的区间最值设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得对称轴方程，①当时，抛物线开口向上．若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当时，抛物线开口向下．若必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论．①当时，；．图1图2图3图4图5②当时，；．图6图7图8图9图10（2）“双勾函数”的区间最值设，求在上的最大值与最小值．分析：①当时，其图像为第一象限部分．若，则函数必在界点处取得最小值，最大值需比较两个端点处的函数值；若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当时，其图像为第三象限部分．若，则函数必在界点处取得最大值，最小值需比较两个端点处的函数值；若，此时函数在上具有单调性，故在离直线较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论．①当时，图11图12图13②当时，图14图15图16二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在吨至吨之间时，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；（2）每吨平均出厂价为万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为万元．即，因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．所以当时，函数有最小值为（万元），所以当年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为万元．（2）设年获得总利润为万元，则，当，，故当年产量为吨时，可获得最大利润万元．评注：本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为，固定部分为元．（1）把全程运输成本（元）表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶．分析：要计算全程的运输成本()，