数值分析实验报告--解线性方程组的迭代法及其并行算法.pdf

《计算方法》实验报告

实验四、解线性方程组的迭代法及
其并行算法
1、实验目的：
①会用Matlab编程进而编写雅可比迭代法和高斯－
塞德尔迭代法，用Matlab的程序来解线性方程组等的
具体问题，同时加深对雅可比迭代和高斯塞德尔迭代
的具体算法的理解及其应用。能很好的熟练掌握并深
入体会计算方法这门课的重要性以及广泛的应用性。
②熟悉并熟练掌握Matlab编程环境。
2、实验要求:
用雅可比迭代和高斯－塞德尔迭代法来解线性方程
组以及判断它们的收敛情况。
3、实验内容：用雅可比迭代和高斯－塞德尔解线性方程组

如下所示：
4、实验题目：用雅可比迭代和高斯－塞德尔解线性方程组

⎧10x1+2x2+3x3=14,
⎪
⎨2x1+5x2+2x3=18,以及判断雅可比迭代法的收敛
⎪
⎩3x1+x2+5x3=20,
性和高斯-赛德尔迭代法的收敛性.
5、实验原理：

判断收敛性：是根据n*n阶矩阵是严格对角占优的，
(所谓占优解释指对角线元素的绝对值大于其它同行
或同列的绝对值之和)则线性方程组有唯一的解。且
对于任意初始量产生的迭代向量都收敛来解雅可比
迭代。如果n*n阶矩阵是正定的对称矩阵，则对于任
意初始向量产生的迭代向量序列都是收敛于此线性
方程组的
雅可比迭代公式：

⎧1
xk+1=(−ax(k)−ax(k)−....−ax(k)+b)
⎪1a1221331nn1
⎪11
⎪(k+1)1(k+1)(k)(k)
⎪x2=(−a21x1−a23x3−....−a2nxn+b2)

⎨a22
⎪..............................................
⎪
(k+1)1(k)(k)(k)
⎪xn=(−an1x1−an2x2−....−an,n−1xn−1+bn)
⎩⎪ann
高斯-塞德尔迭代公式

⎧1
xk+1=(−ax(k)−ax(k)−....−ax(k)+b)
⎪1a1221331nn1
⎪11
⎪(k+1)1(k+1)(k)(k)
⎪x2=(−a21x1−a23x3−....−a2nxn+b2)

⎨a22
⎪..............................................
⎪
(k+1)1(k+1)(k+1)(k+1)
⎪xn=(−an1x1−an2x2−....−an,n−1xn−1+bn)
⎩⎪ann

6、设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项
移到右边，再利用迭代公式使根逐渐精确化，直到达到要求
求出最后结果为止。
7、对应程序：
雅可比迭代程序：
functionX=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1)
[nm]=size(A);
forj=1:m
a(j)=sum(abs(A(:,j)))-2*(abs(A(j,j)));
end
fori=1:n
ifa(i)>=0
disp('请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭
代不一定收敛')
return
end
end
ifa(i)<0
disp('请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一
解，且雅可比迭代收敛')
end
fork=1:max1
k
forj=1:m
X(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:m])*X0([1:j-1,j+1:m]))/A(j,j);
end
X,djwcX=norm(X'-X0,P);xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps);
X0=X';X1=A\b;
if(djwcX<wucha)&(xdwcX<wucha)
disp('请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解
X如下：')
return
end
end
if(djwcX>wucha)&(xdwcX>wucha)
disp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1')
end

运行雅可比迭代程序输入：A=[1023;2101;3110];

b=[1;1;2];X0=[000]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)

结果为：

k=
1
X=

0.10000.10000.2000
k=
2

X=

0.02000.06000.1600
k=
3
X=

0.04000.08000.1880
k=
4
X=

0.02760.07320.1800
k=
5
X=

0.03140.07650.1844
k=
6
X=

0.02940.07530.1829
k=
7
X=

0.03010.07580.1837
k=
8
X=

0.02970.07560.1834
k=
9
X=

0.02990.07570.1835

请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的