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(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号：-24名：指导教师：成绩：二零一六年六月二十日(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--一、前言：（目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。2.实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。二、数学原理：设有方程组Axb…①将其转化为等价的，便于迭代的形式xBxf…②(这种转化总能实现，如令BIA,fb),并由此构造迭代公式x(k1)Bx(k)f…③式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量x(0)，由式③可求得向量序列{x(k)}，若limx(k)x*，则x*就是方程①或方程②的解。此时迭代公0k式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性1.雅可比迭代法基本原理设有方程组naxb(i1,2,3,,n)…①ijjjj1矩阵形式为Axb,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且a0,(i1,2,3,,n)ii从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式1nx(bax)…②iaijjiij1j1(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--取初始向量x(0)(x(0),x(0),,x(0))，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：12n1nx(k1)(ax(k)b)…③iaijjiiij1j1也可记为矩阵形式：x(k1)Bx(k)F…④JJ若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，aaa11121naaaADLU21222naaan1n2nna00000aa11121n0aa0022210an1n00aaa000nnn1nn1式中a11aD22，ann0a021Laa0，3132aaa0n1n2nn10aaa12131n0aa232nU0。an1n0则方程Ax=b变为(DLU)xb得Dx(LU)xb(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--于是xD1(LU)xD1bD1(DA)xD1b(ID1A)xD1b于是式中④中的BID1A,fD1b。JJ式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。2.高斯—赛德尔迭代法高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为1i1nx(k1)(ax(k1)ax(k)b)（i=1,2,…,n）iaijjijjiiij1ji1也可以写成矩阵形式x(k1)Bx(k)fGSGS仍将系数矩阵A分解为ADLU则方程组变为(DLU)xb得DxLxUxb将最新分量代替为旧分量，得Dx(k1)Lx(k1)Ux(k)b即(DL)x(k1)Ux(k)b于是有x(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b所以B(DL)1Uf(DL)1bGSGS3.超松弛迭代法设已知第k次迭代向量x(k)，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量x(k1)（，j=1,2,…i-1）,j现在研究如何求向量x(k1)的第i个分量x(k1)。i首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为~1i1nx(k1)(bax(k1)ax(k))（i=1,2,…n）iaiijjijjiij1ji1~再将第k次迭代向量的第i个分量x(k)与x(k1)进行加权平均，ji得x(k1)，即：i(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告--~x(k1)(1)x(k)x(k1)iii~x(k)(x