(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告.doc

数学与计算科学学院

《数值分析》课程设计

题目：迭代法解线性方程组
专业：信息与计算科学
学号：1309302-24
姓名：谭孜
指导教师：郭兵
成绩：
二零一六年六月二十日

一、前言：（目的和意义）
1.实验目的
①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。
②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2.实验意义
迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。

二、数学原理：
设有方程组
…①
将其转化为等价的，便于迭代的形式
…②
(这种转化总能实现，如令),
并由此构造迭代公式
…③
式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量，由式③可求得向量序列，若，则就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性
1.雅可比迭代法基本原理
设有方程组
…①
矩阵形式为,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
…②
取初始向量，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
…③
也可记为矩阵形式：
…④
若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，

式中
，

，

。

则方程Ax=b变为
得
于是

于是式中④中的。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。

2.高斯—赛德尔迭代法
高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为
（i=1,2,…,n）
也可以写成矩阵形式

仍将系数矩阵A分解为
则方程组变为
得
将最新分量代替为旧分量，得

即
于是有
所以

3.超松弛迭代法
设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。
首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为
（i=1,2,…n）
再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均，
得，即：

于是的SOR迭代公式
(i=1,2,…n)…①
或
（i=1,2,…n）…②
当=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法；
当0<<1时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；
当>1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。
将式②写成矩阵的形式，得：

即
于是得SOR迭代的矩阵表示

式中

举例说明及代码
例1：解下面方程组.（雅克比迭代方法、高斯-赛德尔和松弛法的比较）

解：先计算迭代矩阵：

BJ与BG的特征值跟收敛半径为

所以，用雅可比迭代法求解，迭代过程收敛，而用高斯-塞德尔迭代法求解，迭代过程发散。
取x0=(0;0;0),为达到精度10-5，取w=0.1。
雅可比迭代法松弛法3184代码：
雅可比迭代法
function[x,k]=jacobi(A,b,x0,esp)%k为迭
A=input('InputA=');
b=input('Inputb=');
x0=input('Inputx0=');
esp=1.0e-5;
k=0;
n=length(b);
x=x0;
whilemax(abs(b-A*x0))>esp&k<=500;fori=1:n
sum=0;
forj=1:n
ifj~=i
sum=sum+A(i,j)*x0(j);end
end
x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);end
x0=x;
k=k+1;
ifk>500
fprintf('迭代达到上限')
return
end
end
k
InputA=[12-2;111;221];
Inputb=[111]';
Inputx0=[000]'
运行结果：
k=
3
ans=
-3
3
1
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;clc;
A=[12-2;111;221];
b=[111]';
N=length(b);%解向量的维数
fprintf('库函数计算结果：');
x=inv(A)*b%库函数计算结果
x=zeros(N,1);%迭代初始值
%-----(A=D-E-F)------
D=diag(diag(A));
E=-tril(A,-1);%下三角
F=-triu(A,1);%上三角
B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b;
eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
fork=1:1000%最大迭代次数为100
fprintf('第%d次迭代：',k);
y=B*