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有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）

撰稿：吴婷婷审稿：常春芳
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3.进一步掌握有理数的混合运算.
4.会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
(power)．

即有：agaggaan.在an中，a叫做底数，n叫做指数．
14243
n个
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如an≥0．

要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再
计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进
行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第
二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号
的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成a10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，

l≤|a|<10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝4.2107.

要点诠释：

（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如-3000=3103；

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（2）把一个数写成a10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少

1.
【典型例题】
类型一、有理数乘方
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数乘方的性质】

1．计算：

（1）(4)3（2）43（3）(3)4（4）34

333
（5）（（3（6）（7）（23（2（8）232
55
【答案与解析】

3
（1）(4)(4)(4)(4)64；

3
（2）444464；

4
（3）(3)(3)(3)(3)(3)81；

4
（4）3333381；
333327
（（3；
（5）5555125
3333327
（6）；
555

（7）（23（26236；

（8）2322918

【总结升华】(a)n与an不同，(a)n(a)g(a)gga，而
144424443
n个

anagagga表示a的n次幂的相反数．
1442443
n个

举一反三：

【变式】比较（-）53与-53的异同．

【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；

不同点：（-）53表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的

相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．

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类型二、乘方的符号法则

2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

5
5
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
3
【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算

5
5
的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果
3
是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果
是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为
负．
类型三、有理数的混合运算
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849典型例题1】

1
3.计算：（1）2
1----10.523
3