上海备战中考数学—初中数学 旋转的综合压轴题专题复习.pdf

上海备战中考数学—初中数学旋转的综合压轴题专题复习

一、旋转
1．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；

(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，
BE，DF之间的数量关系.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知
△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出
CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换
得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，

，

∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，

∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，

∴EF2=ME2+NF2；

（3）EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，

则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，

即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，

即2（DF2+BE2）=EF2

考点：四边形综合题

2．（探索发现）
如图，ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点，将ACD绕点A逆时针旋转
60得到AEF，连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.
小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段CD，CF，AC之间的数量关系：______________；
（理解运用）
如图，在ABC中，ADBC于点D.将ABD绕点A逆时针旋转90得到AEF，延
长FE与BC，交于点G.
（3）判断四边形ADGF的形状，并说明理由；
（拓展迁移）
（4）在（3）的前提下，如图，将AFE沿AE折叠得到AME，连接MB，若
AD6，BD2，求MB的长.

【答案】（1）详见解析；（2）CDCFAC；（3）四边形ADGF是正方形；（4）
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【解析】
【分析】
（1）根据旋转得：△ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE，则四边形ABCE是菱形；
（2）先证明C、F、E在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB=∠AFC，
BD=CF，可得AC=CF+CD；
（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形
ADGF是正方形；
（4）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM=DE及勾股定理可得结论．
【详解】
（1）证明：∵ABC是等边三角形，
∴ABBCAC.
∵ACD绕点A逆时针旋转60得到AEF，
∴CAE60，ACAE.
∴ACE是等边三角形.
∴ACAECE.
∴ABBCCEAE.
∴四边形ABCE是菱形.
（2）线段DC，CF，AC之间的数量关系：CDCFAC.
（3）四边形ADGF是正方形.理由如下：
∵RtABD绕点A逆时针旋转90得到AEF，