上海备战中考数学—相似的综合压轴题专题复习.pdf

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA=，点P为边AB上一动点（不与A，
B重合），
PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

（1）当AP=CP时，求QP；
（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；
（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

【答案】（1）解：∵AB=10，sinA=，
∴BC=8，

则AC==6，
∵PA=PC．
∴∠PAC=∠PCA，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A，
∴∠BPQ=∠A，
∴PQ∥AC，
∴PQ⊥BC，又PQ平分∠CPB，
∴∠PCQ=∠PBQ，
∴PB=PC，
∴P是AB的中点，

∴PQ=AC=3

（2）解：∵四边形PMQN为菱形，
∴MQ∥PC，
∴∠APC=90°，

∴×AB×CP=×AC×BC，
则PC=4.8，
由勾股定理得，PB=6.4，
∵MQ∥PC，

∴===，即=，

解得，CQ=

（3）解：∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，
∴QM=QN，PM=PN，
∴S=S，
△PMQ△PNQ
∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，
∴PB=2PM，
∴QM是线段PB的垂直平分线，
∴∠B=∠BPQ，
∴∠B=∠CPQ，
∴△CPQ∽△CBP，

∴==，

∴=，

∴CP=4×=4×=5，

∴CQ=，

∴BQ=8﹣=，

∴BM=×=，

∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM=
【解析】【分析】（１）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6，BC=8，因为PQ平分
∠CPB，所以PQ//AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，
PQ=3;
(2)当四边形PMQN为菱形时，因为∠APC=，所以四边形PMQN为正方形，可得

PC=4.8，PB=3.6，因为MQ//PC，所以，可得;
(3)当QM垂直平分PB时，四边形PMQN的面积与△BPQ的面积相等，此时

△CPQ∽△CBP，对应边成比例，可得，所以，因为AP=AB-2BM，所以
AP=.

2．如图，在菱形ABCD中，，点,E是边BC的中点，连接DE,AE.

（1）求DE的长；
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若,
①求证：△△；
②求DF的长.
【答案】（1）解：连结BD

（2）解：①

②

【解析】【分析】（1）连结BD，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出
△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出
DE的长；

（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又
∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；
②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，
然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段
的和差即可算出答案.

3．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与
x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函
数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.

（1）用含m的代数式表示a；

（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线
段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要
求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴
（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.

由解得x=－m，x=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).
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∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.
∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.

设点E的坐标为（x,）,

∴∴,x=4m.
∴为定值.

（3）解：存在，
如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.

由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），
过点F作FH⊥x轴于点H，
在Rt△CGO和Rt△FGH中,

∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=∴.OG="3m,"

由勾股定理得，GF=，AD=

∴.

由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.
∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形