两条直线的位置关系（一）.doc

第七章直线和圆的方程
第六课时
§7.3.1两条直线的位置关系（一）
教学目标
（一）教学知识点
1．两直线平行的充要条件.
2．两直线垂直的充要条件.
（二）能力训练要求
1．掌握斜率存在的两直线平行或垂直的充要条件.
2．能根据直线方程判断两条直线是否平行或垂直.
3．能够建立恰当的坐标系，用解析法证明平面几何定理.
4．能用解析法解决平面几何问题.
（三）德育渗透目标
1．能用联系的观点看问题.
2．能用“一分为二”的思想看问题、分析解决问题.
教学重点
两直线平行或垂直的充要条件.
教学难点
两直线平行或垂直的充要条件的理解与应用.
教学方法
学导式
两条直线的平行或垂直关系在初中平行几何中对于学生并不陌生.本节将从一个新的角度，即通过直线方程来研究平面内两条直线的平行或垂直关系.要注意引导学生将平面几何中两条直线平行或垂直关系的判定条件转化为两直线方程的关系.
教具准备
幻灯片四张
第一张：直线的方向向量概念（记作§7.3.1A）
第二张：两直线平行问题（记作§7.3.1B）
第三张：两直线垂直问题（记作§7.3.1C）
第四张：本节例题（记作§7.3.1D）
教学过程
Ⅰ．课题导入
［师］在初中几何中，我们研究过平面内两条直线互相平行和垂直的位置关系，现在，我们研究怎样通过直线的方程来判定平面直角坐标系中两条直线的平行或垂直的关系.
首先，我们来复习平面向量的有关知识.（给出幻灯片§7.3.1A）
直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标是（x2－x1，y2－y1）［其中P1（x1，y1），P2(x2，y2)］，当x1≠x2，时∵∥，∴向量也是的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k是直线P1P2的斜率.
［师］另外，我们回顾一下两非零向量a、b互相垂直的充要条件是什么？
［生］a⊥ba·b＝0.
［师］好，下面我们就开始讨论两条直线的平行问题.
Ⅱ．讲授新课
（给出幻灯片§7.3.1B）
1．两条直线的平行问题
结论：当直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2时，l1∥l2k1＝k2且b1≠b2.
说明：当k1或k2不存在时，容易判定两条直线的位置关系.
指导：设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，如果l1∥l2（如图），那么直线l1和l2在y轴上的截距不相等，即b1≠b2，但它们的倾斜角相等，即.（为什么？）
［生］根据“两直线平行，同位角相等”.
∴
反过来，如果b1≠b2，则l1和l2不重合.又如果k1＝k2，即，那么由0°≤＜180°，0°≤＜180°，并利用正切函数的图象，可知，所以l1∥l2.（为什么？）
［生］根据“同位角相等，两直线平行”.
［师］下面，我们继续研究两直线垂直的关系.
2．两条直线的垂直问题
结论：如果两条直线的斜率为k1和k2，那么，这两条直线垂直的充要条件是k1·k2＝―1.
说明：当k1或k2不存在时，容易判定两直线是否垂直.
推导：设直线l1、l2的斜率分别是k1和k2，则直线l1有方向向量a＝（1，k1），直线l2有方向向量b＝(1，k2).根据两向量垂直的充要条件，可知：
l1⊥l2a⊥ba·b＝01×1＋k1·k2＝0，即l1⊥l2k1·k2＝－1.
［师］下面我们通过题组训练来进一步熟悉两直线平行或垂直的条件.
3．题组训练
题组训练一
［例1］a为何值时，直线（a－1）x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0，（1）平行；（2）垂直.
［师］请大家结合这节课推导的两直线的平行或垂直的条件，进行求解，在熟悉题目以后，可以谈一下自己的解题思路.
［生甲］为了利用两直线平行或垂直的条件，可以表示出两直线的斜率，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，然后套用两直线平行或垂直的条件.
［生乙］“生甲”在求解直线x－ay－1＝0的斜率时有问题，因为a是否为0并不确定，所以不能直接表示为，而应对a是否为0进行讨论，当a≠0时，斜率可以表示为；当a＝0时，直线x－ay－1＝0的斜率不存在，此时应考虑直线（a－1）x－2y＋4＝0的斜率是否为0.
［生丙］此题也可以从直线（a－1）x－2y＋4＝0的斜率入手进行讨论：当a－1≠0时，斜率表示为；当a－1＝0时，直线（a－1）x－2y＋4＝0的斜率为0，此时应考虑直线x－ay－1＝0的斜率是否不存在.
［师］好的，下面大家根据自己的理解写出具体的解答过程.
解：当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直.当a≠0且a≠1时，直线（a－1）x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－.
当k1＝k2，b1≠b2，即＝，a≠－时，解得a＝－1或a＝2