2013考研之线性代数总结笔记.doc

2013线性代数强化讲义
行列式
1行列式
1）一般的行列式

其中为逆序数.排列中若存在大数在前，小数在后，这一对数构成一个逆序，排列中所有逆序的个数称为逆序数.
例1求
.
2）定义的应用
a).二阶行列式.

b)行列式的某一项
例2设.求和的系数为多少.
含：.
的系数为：.含：的系数为：

2.行列式的重要性质
1）.
2).若行列式的某行（某列）有公因子.则可把公因子提到行列式外面.
3).行列式的两行（两列）互换，其值变号.
4)行列式的某行(某列)可以写成两数之和,则其行列式等于两个行列式之和
5).把行列式的某行（某列）所有元素的倍数加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值.

3.行列式的展开定理.
为代数余子式，为余子式.
1).行列展开原理的应用：计算时先用加减法使某些值变为零.然后再用展开法.
2).代数余子式的组合值：它就等于在原来的行列式中把第行换成的行列式.
例3设，计算的值.
解析：

4.几个重要的公式.
1）
三角行列式:.
2)准对角行列式：..
3)范德蒙德行列式：.
注：范德蒙德行列式用来计算各行（或各列）称等比数列的行列式.
4）
5)若为阶方阵,为的特征值,则且.
其中为多项式.
6)若相似则且，其中为多项式.

题型一：数值型行列式的求解
1)各行或各列中的元素成等比，则用范德蒙行列式求解.
2)按行或按列展开降阶处理，只有1-2个非零元.
3)三角形法.
注：计算过程中可能能用分块矩阵行列式的计算公式做简化计算.
例4计算行列式.
解：
（每列减第一列）
第二列加第四列得：

例5计算行列式

补例：证明
法一：原行列式

注：三对角行列式用上面行依次消去下面的行.

法二：递推法
由行列展开定理有
当有符合条件.
假设时结论成立，则时有

结论也成立.证毕.
例6计算行列式
解：

例7求下面阶行列式的值

解：行列式的值

例8求
解：

题型二：抽象型行列式的求解（本章的重点）
1)利用行列式的向量性质和矩阵性质求解.
2)利用矩阵的特征值求解.
例9设是一个阶正交矩阵且求.
解：

例10设矩阵其中均为三维向量，已知行列式求行列式
解析：
例11已知
求方阵的行列式.
解：

例12若三个阶矩阵均不可逆，求
解：由题意
0，-1，-2为的特征值
的特征值为-1，-4，5.

例13设均为阶矩阵，求
解：

题型三：证明
1)利用的等价条件：
(a)(b)(c)只有零解.
2)反证法：假设矩阵可逆..
例14已知阶矩阵满足，证明不可逆但可逆.
证明：，的特征值全为1

第二章矩阵
1.矩阵与方阵：将个数排成行，列，两边画个括号，即形如

称为一个行列矩阵，若矩阵为方阵.

2.矩阵的简单运算
1）设.则
2）数乘运算定义，.
3)矩阵的乘法设则.则.
a)矩阵的乘法有下列的性质：
b)矩阵乘法的特殊性
(b1)对于矩阵不能推出故消去率也不成立.
(b2)对于矩阵不一定成立.
注：很多数字的计算公式在矩阵中不在成立,如平方差公式.
c)矩阵的幂.设是阶方阵，则可以自乘.个相乘为，则为的次幂.矩阵的幂有下面的性质：..

3.逆矩阵与伴随阵：对于两个矩阵满足，则称是的逆矩阵.
1)可逆的矩阵成为可逆矩阵或非奇异矩阵，不可逆的称为不可逆阵或称为奇异矩阵.对于方阵有
.
2）伴随矩阵：.重要性质是.故而.
2)对于方阵，是的逆矩阵只要或即可.其中一个成立即可.
注：上面给出的逆矩阵公式只有理论价值，除了2阶方阵外一般不会用其计算，

4.初等变换与矩阵
1)初等行（列）变换：分两行互换（列）、一行（列）加上另一行（列）的倍数，一行（列）乘法一个非零常数.
2）三种初等矩阵:将单位阵进行初等行或列就可以得到初等矩阵.
,
3)对于一个矩阵进行初等行（列）变换，相等对此矩阵左（右）乘一个相应的初等矩阵.
4)等价存在可逆矩阵使得
5）初等变换法求矩阵的逆：.
注：

5.分块矩阵：分成几块，将其看成小的矩阵相乘，每块的乘法也就矩阵相乘.
几个常见的分块：

为的解.
注：若,则为为的解
2）

几个常见的公式
关于和.
这四个运算任意两个的运算顺序可以交换.

2)关于的结论
a),当可逆时.
b)
3)关于矩阵的可逆性：.
4)关于分块矩阵
a）
b)，.
注：.
题型一：求矩阵的高次幂
1)或，此时，故而.
2)一般而言或用二项式定理.
3)计算矩阵的低次幂，归纳规律求解，应用此方法的问题一般均有一定的提示.
4)相似化方法.
a)若，则.
b)若是一可对角化阵，则存在可逆阵和对角阵使得使得
.

例1设令求.
解：
例2设其中为三阶可逆矩阵，求.
解：

例3设2，2，1是三阶矩阵的特征值，对应的特征向量为

求矩阵和.
解