线性代数-考研笔记.pdf

第一章行列式
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作
(或)。

推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，
(或)。
记作
性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。
性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式
之和：

′′

′′
=

′′

性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

定义在阶行列式，把（）元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做（）元的余子式，

，
记作；记叫做（）元的代数余子式。

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的

乘积，即

定理3(行列式按行按列展开法则)行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

，，，或，，

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

和

范德蒙德行列式

克拉默法则

①

如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即

1/10

，

那么，方程组①有唯一解，，，其中，，，是把系数行列式矩阵中第列的元

，，

素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即

，，

定理4如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。
定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组没有非零解
定理如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零
第二章矩阵级其运算

，，，排成的行列的数表，称为行列矩阵；
定义1由个数

以数为，元的矩阵可简记作（）或（）矩阵也记作。

行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。
特殊定义：
两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩
阵相等，；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。

特殊矩阵
阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；

对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作，，

定义2矩阵的加法

设有两个矩阵（）和（），那么矩阵与的和记作，规定为

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；
矩阵加法满足运算律（设，，都是矩阵）

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（i.）
（ii.）

定义3数与矩阵相乘

数乘矩阵满足下列运算规律（设，都是矩阵，，为数）
（i.）；
（ii.）；
（iii.）
（iv.）

定义4矩阵与矩阵相乘

设（）是一个矩阵，（）是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵

（），其中，，，；，，，，

并把此乘积记作
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；
矩阵的乘法性质（不满足交换律）
（i.）（）（）
（ii.）
（iii.），（）A=BA+CA
（iv.）
（v.）；，

矩阵的转置
定义5把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作。
性质：
（i.）；
（ii.）
（iii.）
（iv.）

定义6由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵的行列式，记作或detA；
（，为阶方阵，为数）
（i.）=
（ii.）=
（iii.）=

伴随矩阵

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定义：的各个元素的代数余子式

性质：

定义7对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，使，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩
阵，简称逆阵。

定理1若矩阵可逆，则

定理2若，则矩阵可逆，且其中为矩阵的伴随阵。

是可逆矩阵的充分必要条件是
推论若或，则

方阵的逆阵满足下述运算规律：
（i.）若可逆，则亦可逆，且

（ii.）若可逆，数，则可逆，且

（iii.）若，为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且

分块矩阵的运算法则
（i.）分块矩阵的加法矩阵的加法
（ii.）数与分块矩阵相乘数与矩阵相乘
（iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘矩阵与矩阵相乘
（iv.）分块矩阵的转置:设

（v.）设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零