2013考研之概率统计总结笔记.doc

2013概率统计强化讲义
事件和概率
一基本概念
1随机试验()样本点()样本空间()随机事件(事件).
2事件：不可能事件()、必然事件()、基本事件(单点集).

二事件的关系
1包含：.概率含义：发生,必然发生.
若且,则
2和事件：.概率含义：,至少有一发生.
3积事件：.概率含义：,同时发生.
4差事件：.概率含义：发生且不发生.
5互不相容(互斥)：.概率含义：,不可能同时发生.
特例:且,称,互为对立事件,记为.
注：对立互不相容(互斥).

三事件的运算和事件概率的计算
1事件的运算
(1)分配律：.
(2)对偶律：，.
2概率的定义
(1)(2)(3)
3概率的性质
(1)加法公式：

特殊情形：
(2)减法公式：当，
一般情形：
推论：若，即
(3)对立公式：
(4),.
5抽象事件概率的计算：先用运算律进行化简,然后利用概率性质计算.

四三种概率模型
1古典概型：样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，

2几何概型：为欧氏空间中的一个有界区域,样本点的出现具有等可能性，

3伯努利概型
(1)如果一个随机试验只有两个可能的结果,则称为伯努利试验。将伯努利试验独立重复次称为重伯努利试验。
(2)设每次试验中事件出现的概率为,则在这重伯努利试验中事件恰好出现次的概率为：.
五条件概率和乘法公式
1称为事件发生的条件下发生的概率,计算方法如下
(1)条件概率公式：().
(2)压缩样本空间法：在新的样本空间中直接计算发生的概率.

2条件概率的性质
(1)(2)
(3)
特别的,若,则
(4)
特别的,若,则
3乘法公式(积事件的概率计算)
(1)
(2)
六事件的独立性

1两事件的独立性
(1)独立()
()
注：独立()
()
(2)独立独立独立独立.
(3)一般情形下,独立与互斥没有蕴含关系;
当时,独立与互斥不能同时成立.
2三事件的独立性
(1)相互独立
注：相互独立两两独立
(2)相互独立运算得到的事件与运算得到的事件独立.
七复杂事件的概率
1完备事件组：,满足
2设为完备事件组：(全概率公式)
(Bayes公式)
3如何应用公式：用在两阶段试验中,第一阶段试验的结果选为完备事件组.

一维随机变量及其分布
一分布函数
1随机变量：到上的函数,用表示.
2分布函数：即的值为在内取值的概率.
有下面的三条性质：
(1)，记为；，记为.
(2)是单调非减，即时，
(3)是右连续，即
注：性质（1）—（3）是成为分布函数的充要条件。
3概率计算：
(1)
(2),
二离散型与连续型随机变量
1离散型随机变量
(1)定义：可能取值是有限多个或可数无穷多个.
(2)设离散型随机变量的可能取值是,记
分布律：
(3)分布律性质：(1)(2).
2连续型随机变量
(1)定义：设的分布函数，如存在非负可积函数，有
，
称为连续型随机变量，为概率密度.
(2)概率密度性质：(1)(2).
(3);的连续点处有.
三常见的离散型与连续型随机变量
1离散型随机变量
（1）（0—1）分布
（2）二项分布 .
（3）泊松分布，
背景为伯努利概型.
(4)超几何分布，，
2连续型随机变量(除正态分布)
(1)均匀分布
注：均匀分布相当于几何概型
(2)指数分布，
四正态分布
(1)正态分布
(2)标准正态分布
的值可通过查表得到.
性质：，，
(3),特别的.
(4)概率计算：.
特别的：
五随机变量的函数的分布
1．离散型：设的分布律，,则求法如下
(1)搞清楚的可能取值
(2)
2．连续型
(1)公式法：的密度单调，导数不为零可导，是其反函数,
则的密度为

其中是函数在可能取值的区间上值域。
分布函数法：先求分布函数
后求密度函数,具体如下
a)写出在的取值范围.
b)若;若;
若解不等式,求.
c)
多维随机变量及其分布
一分布函数
1二维随机变量：均为一维随机变量,称为二维随机变量.
2分布函数：，有下面的性质
（1）；
（2），；
（3）关于和关于单调不减；（4）关于和关于右连续.
3．二维随机变量的边缘分布函数
,

二二维离散型随机变量
1联合分布律：

2分布律性质：（1） （2）
3边缘概率分布
，
，
4条件概率分布
，
，，
三二维连续型随机变量
1．设的联合分布函数,其中，
称为二维连续型随机变量,称为联合概率密度函数.
2概率密度函数的性质：（1）（2）.
3概率计算:
概率密度：在的连续点,.
4边缘密度，
注：,也就是在分别在直线上的积分.
5条件概率密度 若,,则
.
6二维均匀分布
， 的面积
注：二维均匀分布相当于平面区域上的几何概型.

四随机变量的独立性
1相互独立
(离散型)(连续型).
2与独立