初中数学一题多变一题多解（三）.doc

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一题多解一题多变（三）
例如，在讲解下面一道几何题时，我通过设疑激思，引导学生复习了全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四边形等相关几何知识，并和学生一起总结归纳此种习题的解题规律和方法。
已知，如图，□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，FG⊥AE于G，EH⊥AF于H，连接AC、EF、AM，若AC=20，EF=16，求AM的长.

解法一：（勾股定理解法）
∵FG⊥AEAF⊥CD
∴AM=AG+GM=AF-GF+EM-EG
=AC-CF-(EF-EG)+EM-EG=AC-CF-EF+EM
∵AE⊥BC,AF⊥CD,FG⊥AE,EH⊥AF
∴CD∥EF,BC∥FG
∴四边形EMFC是平行四边形
∴EM=CF
∴AM=AC-CF-EF+EM=AC-EF=20-16=144
∴AM=12
解法二：（相似法）

∵Rt△AFC和Rt△AEC有公共斜边AC
∴四个点A、F、C、E到斜边AC的中点的距离都相等,都等于斜边AC的一半
∴四点A、F、C、E在以AC为直径的一个圆上
∴∠CEF=∠CAF
∵AE⊥BC,FG⊥AE
∴BC∥FG
∴∠CEF=∠EFG
∴∠EFG=∠CAE
∵∠EGF=∠CFA=90°
∴△EFG∽△CAF
∴
∴
∵三角形的三条高线交于一点
∴AM⊥EF
∴∠GAM=∠EFG
∴△AMG∽△EFG
∴
∴
∴AM=12
以上两种方法是利用勾股定理和相似三角形的方法进行求解的，这两种方法是初中几何问题中求解线段长度问题的常用方法，学生基本都有思路。教师只要适当点拨，学生就可顺利完成，获得初步成功体验后，多数学生跃跃欲试，想探讨更多的解法。此时教师适时点拨：可不可以通过引适当的辅助线，使问题简单化、明朗化呢？因为已知线段AC和EF与所求线段AM不在一个三角形或四边形中，你是怎么想的呢？经过老师的点拨同学们好像眼前一亮，都开始了自己的探索。经过大家的集思广议，又得到如下八种解法。
解法三:过点M作MN∥EF交CD于N点，并连接AN.
（解法三图）（解法四图）

∵EH⊥AF,AF⊥CD
∴EH∥CD
∴四边形EFNM为平行四边行
∴MN=EF=16,EM=FN
∵由解法一知：四边形EMFC是平行四边形
∴EM=CF
∴CF=FN
∵AF⊥CN
∴AN=AC
∵△AEF的高线EH与FG交于一点M
∴AM⊥EF
∵EF∥MN
∴AM⊥MN
在Rt△AMN中由勾股定理知：
AM=AN-MN=AC-EF==20-16=144
∴AM=12
解法四：过M点作线段EF的平行线交线段CB(或CB的延长线)于N点,连接AN
首先:证出四边形MNEF为平行四边形可得MN=EF=16
其次:证出AN=AC=20
再次:证出AM⊥MN方法同上
最后由勾股定理求出AM=12
解法五、六：
过A点作KN∥EF,FN∥AE,EK∥AF,连接MN,MK
可证四边形ANFE和四边形AKEF为平行四边形
∴AN=AK=EF=16
同上方法可证AM⊥KN
由△MFN≌△CEA(SAS)可证MN=AC=20
由勾股定理得AM=12
同理我们还可以分别过E点、F点作线段AM的平行线，还可以有四种方法求出线段AM的长。通过师生共同努力我们探究出十种求线段AM长的方法。