初中数学一题多变一题多解（四）.doc

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一题多解，一题多变（四）
一、一题多解，拓宽解题思路
一题多解是从不同的视角、不同的方位审视分析同一问题中的数量、位置关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。通过探求同一问题的不同解法，可以引出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，从而培养学生的创新思维的意识。
比如，我在华师版八年级数学第二十章《平行四边形的判定》曾举到这样一道例题：如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．

证法一：如图2，作CE⊥AB，在Rt△CBF中，由勾股定理易得：CF=，又E是AD的中点，故DE=AE=，分别在Rt△CDE和Rt△BEA中，由勾股定理易得：=3，=6，在Rt△CBE中，由勾股定理的逆定理可得:△CEB是Rt△，即CE⊥BE得证.
证法二：如图3，分别延长CE、BA交于点F，易得△CDE≌△FEF，则CE=FE，AF=1，又AB=2，所以BF=3，又因为BC=3，所以BC=BF，在△BFC中，由三线合一定理得：CE⊥BE．
证法三：如图4，取CB的中点F，连结EF，则EF是梯形CDAB的中位线，易得EF=2，则EF=CF=BF,则∠CEF=∠FCE,∠FEB=∠FBE,在△CEB中，由三角形内角和定理易得∠CFB=90°，即CE⊥BE。
二、一题多变，挖掘习题涵量
1．变换题设或结论
比如，同样对上述问题，我还对该题进行了多种角度的变式讨论，开阔了学生的眼界，活跃了学生的思维。
变换1：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。求证：CE⊥BE．
变换2：在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．,E是AD中点．求证：BC=AB+CD。
变换3：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD,CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？
变换4：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点．求证：
2．变换题型
即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。
例如：如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形,求证；
分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发找到需证明△ABD∽△ECA，从而使问题变得容易解决。
变换一：改为填空题，如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是等边三角形,则线段BC、BD、CE满足的数量关系是。
本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC分别代换为AB、AC，从而归结为找△ABD与△ECA的关系问题。
变换二：改为选择题，如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形，则下列关系式错误的是（）
A．B．
C．D．
名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A、B、C选项均正确，选D。
变换三：改为计算题,如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是边长为4的等边三角形,且BD=2，求CE的长.
仍然要探究出线段BC、BD、CE满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。
变换四：改为判断题，如图6，若图中∠DAE=135°，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则的结论还成立吗?
把问题条件改变，用同样的思想方法探究得出同样的结论，进一步引申了原例的思想方法，拓展了学生的思维空间。
变换五：改为开放题，如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形,则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？
结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。
变换六：改为综合题，如图7，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，并说明理由。
此种变换将相似与函数知识结合，培养了学生综合探究的能力。

三、一题多用，培养应用意识

比如，已知一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段？
这是七年级数学中我们已解决的问题，易得共有条线段，运用这个数学模型，可以解决很多数学问题。
例如：（1）全班50个同学，每两人互握一次手，共需握手多