第2讲函数的性质.docx

高一数学竞赛培优辅导学案编者：胡汉成
第2讲：函数的性质
例1、（2007年上海交大数学冬令营）设，试证明对任意的实数：
（1）方程总有相同的实根；（2）存在，恒有.

例2、（2011年湖北省预赛）已知关于的方程，在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是.

例3、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（）
A、0B、1C、2D、3

例4、（2009年全国联赛）若关于的方程仅有一个实根，则实数的取值范围是.

例5、（2012“北约”）求的实数根的个数。

例6、（2006年全国联赛）方程的实数解的个数为.

例7、（2008年江苏省预赛）已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围是，试求的值.

例8、（2000年全国联赛，改编）若函数在区间上的最小值为，最大值为，求所有的有序数对.

例2、（2007年上海交大数学冬令营）设，试证明对任意实数：
方程总有相同的实根；
存在，恒有。
►分析与解答：
本题若看成关于的四次多项式，则很难因式分解，若展开重新整理成关于的一次多项式：

显然总有相同实根；当时，。
注：本题从另一个角度，转换参数，将看成一个关于的一次函数，值得回味！

例2．（2012“北约”）求的实数根的个数。
►分析与解答：原方程即
。
。令。由于
。所以原方程无实根。

练习：关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（）
A0B1C2D3
►分析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.►解答：方法一：根据题意可令，则方程化为，(*)作出函数的图象，结合函数的图象可知：①当或时，原方程有两个不等的根，②当时，原方程有4个根，③当时，原方程有3个根.(1)当时，方程(*)有一个正根，相应的原方程的解有2个；(2)当时，方程(*)有两个相等正根，相应的原方程的解有4个；(3)当时，此时方程(*)有两个不等根或，故此时原方程有5个根；(4)当时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程的解有8个，故选A.