北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学.doc

第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，，则集合（）
（A）（B）（C）（D）

2.已知复数z满足，那么的虚部为（）
（A）（B）（C）（D）

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）
（A）（B）（C）（D）
4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

（A）（B）（C）（D）
5.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）
（A）（B）
（C）（D）
6.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（）
（A）（B）（C）（D）

7.．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（）
（A）（B）（C）（D）
8.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（）
（A）（B）（C）（D）

【答案】D
【解析】
试题分析：棱长为，故体对角线=，根据对称性，只需研究，函数的值域，连接，则面，此时，当时，截面周长为截面周长的一半，即，当时，即当截面过体对角线中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为.，所以函数的值域为.

考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数_____．
【答案】4
【解析】
试题分析：，因为，故，即，解得.
考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.
10.若等差数列满足，，则公差______；______．
11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，
那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．

12.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______.（用数字作答）
13.如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点.若，，则______；______．

14.在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点.
（1）在映射的作用下，点的原象是；
（2）由点所形成的平面区域的面积为______．
考点：1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知函数，，且的最小正周期为.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调增区间.
16.（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望．

甲组
乙组
8
9

0
1
a
8

2
2

所以的数学期望．
考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望.
17.（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.

又因为平面，所以.因为，所以平面.
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.设平面的法向量为，
所以即
令，得.由平面，得平面的法向量为，
则.由图可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为.

考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角.
18.（本小题满分13分）
已知函数，其中是自然对数的底数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）的单调减区间为；单调增区间为；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导得，，因为，所以的解集为，即单调递增区间；的解集为，即单调递减区间；（Ⅱ）函数，令，得，显然是一个零点，记，求导得，易知
时递减；时递增，故的最小值，又，故，即，所以函数的零点个数1个.
试题解析：（Ⅰ）解：因为，，所以．
令，得．当变化时，和的变化情况如下：
↘↗故的单调减区间为；单调增区间为．
19.（本小题满分14分）
已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k，为坐标原点.
（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上