2025届北京市首都师范大学附属中学高二数学期末质量跟踪监视试题含解析.docx

2025届北京市首都师范大学附属中学高二数学期末质量跟踪监视试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为A.B.C.D.2、在空间四边形中，，，，且，则（）A.B.C.D.3、已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.4、直线的倾斜角为（）A.1B.－1C.D.5、随机地向两个标号分别为1与2的格子涂色，涂上红色或绿色，在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为（）A.B.C.D.6、已知集合，则（）A.B.C.D.7、已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A.B.C.D.8、已知，，且，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.9、已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（）A.B.C.D.10、在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A.B.C.D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____12、已知等差数列是首项为的递增数列，若，，则满足条件的数列的一个通项公式为______13、已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____14、已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________.15、曲线在点（1，1）处的切线方程为_____16、某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、在平面直角坐标系中，已知，动点M满足（1）求M的轨迹方程；（2）设，点N是的中点，求点N的轨迹方程；（3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求18、已知为各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前n项和19、已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.20、已知函数（m≥0）.（1）当m=0时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数的最小值为，求实数m的值.21、已知抛物线的焦点，点在抛物线上.（1）求；（2）过点向轴作垂线，垂足为，过点的直线与抛物线交于两点，证明：为直角三角形（为坐标原点）.参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：A【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据等积法求出几何体内切球的半径，再计算内切球的表面积【详解】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示：设三棱锥内切球的半径为，则由等体积法得，解得，所以该三棱锥内切球的表面积为故选：A【点睛】本题考查了由三视图求三棱锥内切球表面积的应用问题，属于中档题2、答案：A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】..故选:A.3、答案：B【解析】根据题意得到，根据，化简得到，进而得到离心率的不等式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的左顶点为，上顶点为，所以，，因为，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因为椭圆的离心率，所以，即椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】求解椭圆或双曲线离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.4、答案：C【解析】根据直线斜率的定义即可求解.【详解】，斜率为1，则倾斜角为.故选：C.5、答案：D【解析】根据古典概型的概率公式即可得出答案.【详解】在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色有红色与绿色两种情况，其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的情况有1种，所以在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为.故选：D.6、答案：B【解析】先求得集合A，再根据集合的交集运算可得选项.【详解】解：因为，所以故选：B.7、答案：C【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.8、答案：B【解析】先求出向量