函数展开成幂级数.doc

离散数学
第1章集合

第6节函数展开成幂级数
之前，给定幂级数，求它的和函数
。
现在我们反过来，给定函数，找一个幂级数使得在某个区间内
。（6.1）
这称为把函数展开成的幂级数。
6.1函数展开成幂级数的条件
首先，假设在区间内能展开成幂级数(6.1)．由定理5.5，在区间内任意阶可导，且可对(6.1)式两边逐项求导．从而，都有：
，
，

，
在以上各式中令，就得到
，，，，，
也就是说，如果在区间内能展开成幂级数(6.1)，则(6.1)一定是如下唯一的：

，(6.2)
幂级数的系数为
，．
其次，任意给了在处有任意阶导数的，我们总可以写出以下右边的幂级数
(6.3)
我们称右边幂级数为函数在处的Taylor级数，当时称为的Maclaurin级数。
注意：在（6.3）中，我们不写等号“=”而只写了“”，因为右边幂级数是否收敛？收敛时，和函数是否等于？都还是很大的问题。
由第3章中的Taylor公式，若函数在内阶可导,则,有
，
其中，介于与之间，是在处Taylor级数的部分和．
不难看出，如果在区间内有任意阶导数，则，即在内Taylor级数收敛于的充要条件是．因此有如下定理：
定理6.1设函数在区间内存在任意阶导数，则在内能展开成Taylor级数的充分必要条件是
，．
由定理6.1，可以得到在内展开成Taylor级数的一个便于应用的充分条件：
推论6.1设函数在区间内存在任意阶导数，如果存在常数，使得对于任意的，存在，只要就有
，
则能在内展开成Taylor级数．
如果能在内展开成它在处的Taylor级数，即等式(6.2)成立，则称此等式为在处的Taylor展开式．时，有
(6.4)
称为的Maclaurin展开式．
思考题:
1.若在内满足定理6.1的条件,试给出近似代替的次多项式,并给出误差的表达式．
6.2函数展开成幂级数的方法
现在我们讨论怎样把函数展开成的幂级数(即Taylor级数)．这里先讨论怎样把函数展开成的幂级数,即Maclaurin级数．
【例6.1】将函数展开成的幂级数．
解首先在区间内存在任意阶导数，且
,,
于是得幂级数

它的收敛区间为(例5.1(2)),对于任意固定的，有
，．
是与无关的有常数，不难证明（，的收敛半径。因此，收敛，从而）,因此有,从而，故得到
(6.5)
把函数展开成Maclaurin级数的方法总结：
（1）找到存在任意阶导数的区间并求出导数；
（2）利用拉格朗日余项估计并证明；
（3）写出的Maclaurin展开式
。
一般来说，是右边幂级数的收敛域。
把函数展开成点的Taylor级数的方法：
（1）作变换，；
（2）（用上面方法）写出的Maclaurin展开式
；
（3）代回得在点的Taylor级数展开式
其中在变换下与对应。
思考题:
2．求次多项式函数的幂级数展开式．
3.试归纳得出将展开成的幂级数的主要步骤．
【例6.2】将函数展开成的幂级数．
解首先在区间内存在任意阶导数，且

于是得幂级数，容易求出它的收敛半径为,故收敛区间为．
又因为，,都有

由推论6.1,得
，(6.6)
图6.1画出了的幂级数展开式的前项部分和的图形以及的图形．从图中可以看到，各个只在的局部范围内近似于，当距离原点较远时，误差就变得很大，但同时又不难看出，随着的增大，与相互接近的范围也不断扩大．(6.6)式说明，当时，的图形就与的图形趋于一致了．

图6.1

以上求函数的幂级数展开式的方法称为直接法．由于求Taylor系数的工作量较大，因此的Taylor级数往往并不容易得到，而且验证满足可展开的条件的难度也较大，因此应用直接法往往比较困难．
根据函数展开为幂级数的唯一性，利用某些已知的函数的展开式并结合幂级数的运算性质，如四则运算，逐项求导，逐项积分以及变量替换，也可以将所给函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法．间接法不需要求导也不需要验证。因此常常用间接法求函数的幂级数展开式．以例说明。
【例6.3】将下列函数展开成的幂级数．
(1)； (2)．
解(1)对的展开式(6.6)关于逐项求导得（(6.6)对，逐项求导也对）
(6.7)
(2)。
将上式从到逐项积分,并注意到，得

,．
由于上式右边的级数在的右端点处收敛，在左端点处发散，而在处连续，故有
(6.8)
使用间接法也容易得到如：
，．
，．
为了间接展开的需要，请（结合麦克劳琳公式）记住以下麦克劳琳展开式：

，

思考题：
4.函数的定义域与它的幂级数展开式成立的范围总是一致的吗？使得具有各阶导数的长度最大的区间与它的幂级数展开式成立的范围总是一致的吗？（错。）
【例6.4】将下列函数展开成的幂级数．
(1)； (2)．