【全程复习方略】2021高考数学(文理通用)一轮课时作业23-平面向量的数量积.docx

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)平面对量的数量积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2022·大连模拟)a,b为平面对量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于()A.865B.-865C.1665D.-1665【解析】选D.b=2a-(3,18)=(8,6)-(3,18)=(5,-12),设a,b的夹角为θ,则cosθ=QUOTEa·b|a||b|=20-365×13=-1665.2.已知下列结论:①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;②(a·b)2=a2·b2;③若a∥b,则a·b=|a||b|;④若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a⊥b.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设a与b的夹角为θ,对于①,结论明显正确;对于②,(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2|b|2=a2·b2,所以②不正确;对于③,当a,b同向时有a·b=|a||b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|,故③不正确;对于④,由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故④正确.3.已知平面对量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a-b)·a=a2-a·b=1-1×2×cos60°=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)·a=a2-ma·b=1-m·(1×2×cos60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件.4.(2022·温州模拟)在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足BM→=2MA→,则CM→·CB→等于()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.方法一:如图,以C为原点,CA,CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x0,y0),由于BM→=2MA→,所以x0=2(3-x0),y0-3=2(-y0),所以x0=2,y0=1,所以CM→·CB→=(2,1)·(0,3)=3,故选B.方法二:由于BM→=2MA→,所以BM→=23BA→,所以CB→·CM→=CB→·(CB→+BM→)=|CB→|22+CB→·23BA→=9+23×3×32×-22=3.5.(2022·宝鸡模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.42,0B.4,42C.16,0D.4,0【解析】选C.依据题意,由于向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=4+4-4(3cosθ-sinθ)=8-8sinπ3-θ,所以最小值为0,最大值为16,故答案为C.【加固训练】已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PA→·PB→的最小值为()A.-4+2B.-3+2C.-4+22D.-3+22【解析】选D.设∠APB=2θ,|PO→|=x,则PA→·PB→=|PA→||PB→|·cos2θ=|PA→|2cos2θ=(|PO→|2-1)·(1-2sin2θ)=(x2-1)·1-2x2=x2-2-1+2x2≥-3+22,当且仅当x2=2x2,即x=42时取等号.6.已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|+AC→|AC→|·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【思路点拨】留意AB→|AB→|,AC→|AC→|是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面对量的数量积变形计算,由所得结果进行推断.【解析】选A.由于AB→|AB→|·AC→|AC→|=AB→·AC→|AB→||AC→|=|AB→||AC→|cos∠BAC|AB→||AC→|=cos∠BAC=12,所以∠BAC=60°,又AB→|AB→|+AC→|AC→|与以∠BAC为顶角的菱形的一条对角线共线,即是∠BAC的平分线,由题意,得∠BAC的平分线与BC边垂直,所以AB=AC,故△ABC为等边三角形.【加固训练】(2022·景德镇模拟)在△ABC中,若|BA→+BC→|=|AC→|,则△ABC的外形为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不能确定【解析】选B.依据向量加法的平行四边形法