【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：2.11-导数在研究函数中的应用-.docx

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十四)导数在争辩函数中的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2021·厦门模拟)函数f(x)=xlnx,则()A.在(0,+∞)上递增B.在(0,+∞)上递减C.在(0,)上递增D.在(0,)上递减【解析】选D.由于函数f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,f′(x)>0,解得x>,则函数的单调递增区间为(,+∞),又f′(x)<0,解得0<x<,则函数的单调递减区间为（0,）,故选D.2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有微小值,则a的取值范围为()A.a<-1或a>2B.-3<a<6C.-1<a<2D.a<-3或a>6【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在R上的实数根的状况求解.【解析】选D.由已知得:f′(x)=3x2+2ax+a+6=0在R上有两个不相等的实根,所以Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得:a<-3或a>6,故选D.【加固训练】设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=x3-mx2+x在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上()A.既有极大值,也有微小值B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有微小值D.没有极大值,也没有微小值【解析】选C.由题设可知:f″(x)<0在(-1,2)上恒成立,由于f′(x)=x2-mx+1,从而f″(x)=x-m,所以有x-m<0在(-1,2)上恒成立,故知m≥2,又由于m≤2,所以m=2;从而f(x)=x3-x2+x,令f′(x)=x2-2x+1=0得x1=2-∈(-1,2),x2=2+∉(-1,2);且当x∈(-1,2-)时f′(x)>0,当x∈(2-,2)时f′(x)<0,所以在(-1,2)上f(x)在x=2-处取得极大值,没有微小值.3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4【解析】选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),由于-1≤x≤1,所以令f′(x)>0得-1≤x<0,令f′(x)<0得0<x≤1,所以函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.所以x=0时函数f(x)取得极大值同时也是最大值,即f(x)max=f(0)=2,故C正确.4.若函数f(x)=x2+ax+在(,+∞)上是增函数,则a的取值范围是()A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)【解题提示】由函数f(x)=x2+ax+在(,+∞)上是增函数,可得f′(x)=2x+a-≥0在(,+∞)上恒成立,进而可转化为a≥-2x在(,+∞)上恒成立,构造函数求解.【解析】选D.由于f(x)=x2+ax+在(,+∞)上是增函数,故f′(x)=2x+a-≥0在(,+∞)上恒成立,即a≥-2x在(,+∞)上恒成立,令h(x)=-2x,则h′(x)=-2.当x∈(,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数,所以h(x)<h=3,所以a≥3,故选D.5.(2021·兰州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中确定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和微小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和微小值f(2)【解析】选D.由图象知,f′(-2)=f′(2)=0,且当x<-2时,f′(x)>0,-2<x<1,1<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,故f(-2)是极大值,f(2)是微小值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题,再构造函数求解.【解析】由题意知:f′(x)=2ax+1-(lnx+1)≥0,即a≥在x∈[1,+∞)上恒成立;设g(x)=,令g′(x)==0,解得x=e,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,当x∈[1,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,故g(x)的最大值为g(e)=,即a≥.答案:a≥7.(2021·银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得微小值,则m=.【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-