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最值问题的求解八法

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。
一.配方法
例1.可取得的最小值为_________。
解：原式
由此可知，当时，有最小值。

二.设参数法
例2.已知实数满足。则的最大值为________。
解：设，易知
由，得

从而，
由此可知，是关于t的方程的两个实根。
于是，有
解得。故的最大值为2。

例3.若，则可取得的最小值为（）
A.3 B. C. D.6
解：设，则

从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。

三.选主元法
例4.实数满足
。则z的最大值是________。
解：由得。
代入消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。
即，
整理得
解得。
所以，z的最大值是。

四.夹逼法
例5.是非负实数，并且满足。设，记为m的最小值，y为m的最大值。则__________。
解：由得

解得
由是非负实数，得

从而，解得。
又，
故
于是，
因此，

五.构造方程法
例6.已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。
解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。
从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则
因为，
所以，
解得
所以k的最小值是
四.由某字母所取的最值确定代数式的最值
例7.已知为整数，且。若，则的最大值为_________。
解：由得，代入得。
而由和可知的整数。
所以，当时，取得最大值，为。

七.借助几何图形法
例8.函数的最小值是________。
解：显然，若，则。因而，当取最小值时，必然有。
如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，令OA=x，则
。
那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。

图1
设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，。作EF//AB与DB的延长线交于F。
在中，
易知，所以，。
因此，函数的最小值为5。

八.比较法
例9.某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则

解得
又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则

解得
于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。