空间向量的直角坐标及其运算习题2.doc

空间向量的直角坐标及其运算习题课（三）
复习引入
1、模长公式：若，，
则，．
2、夹角公式：．
3、两点间的距离公式：若，，
则，
或
例题讲解
在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，
（1）求证：；
（2）求与所成的角的余弦；
（3）求的长
解：如图以为原点建立直角坐标系，则，，，，，，，（1），，
∴，∴．
（2）∵，∴，
，，
∴，∴与所成的角的余弦．
（3）∵，∴．
已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
解：（1）证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量．
（2），，
∴，
∴，
∴，
∴．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值
解：建立如图所示空间直角坐标系，使D为坐标原点，
则B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0)

设异面直线BD1和B1C所成角为θ，则.
如图，ABCD是矩形，AB=a，AD=2，S为平面ABCD外一点，SA=1，且SA⊥平面ABCD，若边BC上存在一点P，使得PS⊥PD。（1）求a的最大值；（2）当a取最大值时，求异面直线AP与SD所成的角的余弦值。
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.
（1）求直线BE与A1C所成的角；
（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出；若不存在，说明理由.
如图，四面体PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，PA=PB=2，E为AB中点，=arctg3。（1）求PC；（2）求夹角.
课外作业：练习册