集合与常用逻辑用语.doc

第一章集合与常用逻辑用语

学案1集合的概念与运算

导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．

自主梳理
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则AB(或BA)．
若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且xA}．
A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，
A∩B＝A⇔A⊆B.
A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，
A∪B＝B⇔A⊆B.
A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U.
自我检测
1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；
②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；
③M＝{4,5}，N＝{5,4}；
④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．
答案③
2．(2009·辽宁改编)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N＝________.
答案{x|－3<x<5}
解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3<x<5}．
3．(2010·湖南)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.
答案3
解析∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.
4．(2010·常州五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝eq\r(9－x2)，x∈R}，则M∩N＝________.
答案[－1,3]
解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝eq\r(9－x2)，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.
答案－1或2
解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

探究点一集合的基本概念
例1若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}，求b－a的值．
解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
解由{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,\f(b,a)＝a，,b＝1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝a，,\f(b,a)＝1.))②
由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))符合题意；②无解．
∴b－a＝2.
变式迁移1设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.
解由元素的互异性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1，))解得a＝－1，b＝0.
探究点二集合间的关系
例2设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？
解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
解集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
变式迁移2设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关