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第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理教学目的：掌握实数完备性的基本定理，熟悉各定理证明思路及分析方法。重点难点：重点为区间套定理的应用,难点为对有限覆盖定理的理解及使用。教学方法：讲练结合。在第一、二章中，我们证明了关于实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性。可以举例说明，有理数集就不具有这种特性（本节习题4）。有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。一区间套定理与柯西收敛准则定义1设闭区间列具有如下性质：（¡），；（¡¡），则称为闭区间套，或简称区间套。这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：（1）定理7.1（区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，，即，（2）证由（1）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有（3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有，（4）且（5）联合（3）、（5）即得（2）式。最后证明满足（2）的是唯一的。设数也满足则由（2）式有由区间套的条件（¡¡）得，故有由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论若是区间套所确定的点，则对任给的>0，存在N>0，使得当>N时有注区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。对于开区间列，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点.作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则”（定理2.10）,即数列收敛的充要条件是:对任给的,存在,使得对有.证[必要性]设.由数列极限定义,对任给的,存在,当时有因而[充分性]按假设,对任给的,存在,使得对一切有,即在区间内含有中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”).据此,令,则存在,在区间内含有中几乎所有的项.记这个区间为.再令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项．记，它也含有中几乎所有的项，且满足继续依次令照以上方法得一闭区间列，其中每个区间都含有中几乎所有的项．且满足即是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数，现在证明数就是数列的极限．事实上，由定理7.1的推论，对任给的，存在，使得当时有因此在内除有限外的所有项，这就证得．二聚点定理与有限覆盖定理定义2设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)．的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点．例如，点集有两个聚点和；点集只有一个聚点；又若S为开区间，则内每一点以及端点、都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点．聚点概念的另两个等价定义如下：定义2’对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点．定义2”若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下．定义2定义2’是显然的，定义2”定义2也不难得到；现证定义2’定义2”设为S(按定义2’)的聚点，则对任给的，存在．令，则存在；令，则存在，且显然；令，则存在，且互异。无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列，且由，易见。下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．定理7．2(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．证因S为有界点集，故存在，使得，记现将等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为，则且再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足,即是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点，．于是由定理7．1的推论，对任给的，存在，当时有．从而内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点．推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列．证设为有界数列．若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。则存在的一个收敛子列(以为其极限).作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性.证设数列满足柯西条件．先证明是有界的．为此，取则存在正整数N，当m=N+1及n>N时有由此得=.令M=max则对一切正整数n均有于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列设=A．对任给的>0，存在K>0，当m,n,k>K时，同时有(由柯西条件