狄拉克方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

《高等量子力学》狄拉克方程内容提要一、波函数和薛定谔方程粒子在t时刻r点出现几率薛定谔方程薛定谔方程引入3.薛定谔方程(三维)二、克莱因-戈尔登方程3.自由粒子解德布罗意波保罗·狄拉克：英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。薛定谔方程因为不是相对论性，它必定要向相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负能态和负概率所困扰，所以长久不被物理学家所接收。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生。它融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动力学三方理论，能够计算氢原子光谱精细结构，而且自动产生电子自旋量子数。更巧妙是，狄拉克认为负能态对应着一个电子反粒子，由此预言了正电子存在，并防止了负概率困难。下面详细介绍狄拉克方程建立过程。第一步：建立相对论方程条件因为量子力学标准波动方程要求是能量一次项，但是(2)式包含有根号，假如直接作算符代换，动量算符将出现在根号内：对自由粒子，有对力场中粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能放到等号左边）与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式潜在问题是动量算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。为了去掉根号，狄拉克采取了一个很巧妙思绪，实际上就是一个待定系数法。对自由粒子，能够把相对论能量动量关系写成以下形式：狄拉克假定自由粒子能量E与动量分量质量之间存在最简单一次线性关系。这么，对应于(3.4)式，能够拼凑出一个去掉根号待定系数方程其中β是待定系数。不过它们不是普通系数，因为普通系数极难满足(3.4)式。狄拉克以后从泡利矩阵得到启发：它们假如是4×4矩阵，那么就有可能满足(3.4)式。比较(3.4)式和(3.5)式，能够得到以下对应关系(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵不可对易性）展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量之间能够对易，但矩阵之间不可对易。也就是，不过。矩阵乘法普通不满足交换律）要确保(3.8)式成立，能够让系数满足以下关系从(3.9)式能够看出，这四个系数位置关系是完全对称，类似这么四个系数关系称为彼此“反对易”，它们每一个平方都是1。能够这么了解对易和反对易：称为彼此可对易，称为彼此反对易。狄拉克在量子力学中取得第一个进展，是借用了泊松括号来表示两个量对易关系，表示两个量可对易。假如把(3.9)式看成一个方程组，然后在整个实数和复数范围内求解，它是没有实数或复数解，因为平方为1与相加为0方程彼此是矛盾。所以，要得到满足(3.9)式解，只能寻找实数和复数以外数学工具，狄拉克找到是泡利矩阵。这提醒我们，任何没有实数或复数解方程，很可能都是我们没有找到适当数学工具。这种思绪将是创造新数学工具主要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被看作是一个主要数学家。为了简练和统一描述(3.9)式，狄拉克采取了克朗内克δ函数（Kronecker），其定义为：克朗内克δ函数惯用来描述矩阵。通俗地了解就是：假如i和j表示矩阵行列序号，那么克朗内克δ函数描述就是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0单位矩阵。假如令，则全部(3.9)式都能够用下式统一描述：(3.11)式表明，当时，有；当时，有。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等价，待求这四个系数必须满足(3.11)式或(3.9)式。必须说明一点是，因为(3.11)式与(3.9)式等价，所以这里采取克朗内克δ函数得到(3.11)式，主要是形式上意义。其实，(3.11)式比(3.9)式愈加抽象和难以了解，去掉(3.11)式和克朗内克δ函数丝毫不影响我们对狄拉克方程学习。不过，狄拉克是从克朗内克δ函数得到主要启发后，才提出狄拉克δ函数。而且，克朗内克δ函数本身就很适合描述矩阵，这对于狄拉克最终想到用矩阵表示(3.9)式，很可能也有启发作用。由此能够想见，狄拉克为何要在这里“多此一举”引入克朗内克δ函数。为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。最初，电子自旋是作为假设提出来，泡利就是为了描述电子自旋角动量而创建三个2阶矩阵。有时为了表示方便，还能够加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩阵O，泡利矩阵满足以下关系（能够直接验证），或者说有以下一些性质：这与(3.9)式非常相同，说明用类似泡利矩阵这么数学工具来结构狄拉克方程是非常合理和自然。这就是狄拉克会想到系数可能是矩阵原因，也是狄拉克在数学和物理上巨大突破。狄拉克认为，假如把这四个系数看成矩阵，那么它们应该含有与泡利矩阵类似性质。不过，基于两个理由，它们应该是4×4矩阵，而不是2×2矩阵：第一、2×2矩阵无法描述超出三个以上反对易量，而现在有四个反对易量。第二、原来假设电子自旋只要求波函数有两个分量，不过现在因为出现了负能量状态，波动方程解数目必定是以前两倍，即波函数必须要有四个分量。为了得到一组矩阵系数，狄