构造造函数结合导数方法证明不等式.doc

高二年级数学组构造函数结合导数方法证明不等式南漳县高级中学张琳孙波摘要：利用构造函数，借助导数的方法证明不等式。把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证明不等式。关键词：构造函数导数不等式证明新版教材编入了导数求解函数的单调性和极值都比较方便。所以在可能的条件下尽量用导数去证明求解不等式。将所证的不等式通过构造函数的形式，利用导数判定出原函数的单调性，找出最值（值域）使之获证。基于此，如何合理的构造函数，成为我们能否有效解决问题的核心。本文试就一些常见的构造方法作出例析如下：一、利用作差法构造函数1、sinx＜x.x∈（0,π）分析：题中所给的sinx,x属不同函数类型，无法直接化简证明，可用构造函数后求出其单调性找其最值（值域）从而得证。证明：构造函数f(x)=sinx－x，X∈（0,π）则f′(x)＝cosx－1∵0＜x＜π∴－1＜cosx＜1∴－2＜cosx－1＜0∴f′(x)＜0∴f(x)在（0，π）单调递减∴f(x)＜f(0)＝0∴sinx－x＜0∴sinx＜x得证二、利用题中所给条件直接构造函数2、求证：π·sinπ+cosπ＞·sim+cos分析：题中π，不是特殊角，若用传统方法证明将会很很困难。考虑到原不等式的结构相同，分别x.sinx+cosx，当x＝π，时的值，为此构造出函数f(x)＝x.sinx+cosx来证证明：构造出函数f(x)＝x.sinx+cosx则f′(x)＝sinx+xcosx－sinx＝xcosx当x∈（0，）时，f′(x)＞0∴f(x)在（0,）是增函数∵π＞∴f（π）＞f（）得证三、变换主元构造函数3.（2004年全国卷），已知g(x)=xLnx,0＜a＜b,证明：0＜g(a)+g(b)－2g()＜(b－a)ln2分析：根据已知条件中的g(x)将a,b代入直接证明不等式方法将会很困难，可考虑变换主元构造函数，用求系方法求其单调性得其最值（值域）证明：可以b为主元构造函数F（x）＝g(a)+g(x)－2g（）＝alna+xlnx－2ln=alna+xlnx－(a+x)ln(x＞a＞0)则f′(x)＝lnx－ln∵(x＞a＞0)∴＜＝x∴ln＜lnx∴f′(x)＞0∴f(x)在（a1+∞）为增出数又∵F(a)=0且F(x)在(a，+∞)上连续∴F(x)＞F(a)=0即F(b)＞0∴g(a)+g(b)-2g()＞0对右边不等式构造函数G(x)=F(x)-(x-a)1n2(x＞a＞0)G′(x)=F′(x)-1n2=1nx-1n-1n2=1nx-1n(a+x)∵x＞a＞0∴a+x＞x＞0∴1n(a+x)>1nx∴G′(x)＜0，G(x)在(0，+∞)单调递减∴G(x)＜G(a)=0即G(b)＜0得证4.【09年广东卷】：已知曲线cn＝x2-2ny+y2=0(n=1,2,…)，从点p（-1,0）向曲线cn引斜率为kn(kn＞0)的切线cn，切点为pn(xn,yn).（1）.求数列{xn}与{yn}的通项公式.（2）.证明：x1：x3：x5.……x2n-1＜.解：（1）易求xn＝.（2）分析：所证不等式变为：证明，可用数学归纳法证法一：构造函数：f(x)=x-纳证明函数f(x)＞0恒成立，即证f(x)的最小值＞0f′(x)=cosx－当x∈上单调递增∴f(x)＞f(0)＝0∴sin证法二：即证：构造函数：f(x)=，证明f(x)>恒成立，即求f(x)的最小值>f(x)=令g(x)=x-tanx,g′(x)=1－当x∈∴当x∈f′(x)＜0∴单调递减而x＝∴∴故原命题得证gi大多数情况下，我们易直接构造关于自变量的函数，但有时函数虽然构造出来了，可在接下来的证明过程中将会出现难做的情形，换个思路则产生柳暗花明的效果。导数法为证明不导式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，通过合理的构造函数，能使我们解题时更具指向性。作者单位：南漳县高级中学联系电话：[phone]邮编：441500QQ：3336741