构造函数法证明导数不等式的可靠方法.doc

第页共NUMPAGES15页构造函数法证明不等式的可靠方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。一、构造函数已知函数，求证：当时，恒有分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。【解】∴当时，，即在上为增函数当时，，即在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴（右面得证），现证左面，令，当，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，∴当时，，即∴，综上可知，当(2009年全国联赛二试)求证不等式：，，2，…这里需要先证一个不等式变式1.证明：对任意的正整数n，不等式都成立.分析：从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。2：证明当3：已知m、n都是正整数，且证明：二.利用函数例1.已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．…2分当或时，，当时，，函数在、上单调递增，在上单调递减．……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分（2）当时，，定义域为．令，，在上是增函数．…………………………………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．…………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，．……………12分，．……………………………………14分(法二)当时，．，，即时命题成立．………………………………10分设当时，命题成立，即．时，．根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分123456n-1n…因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得．……11分，．………………………………12分，又，，．．…………………………………14分例2.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明（1）解：因为，所以．…………………………………………1分因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即．所以．（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分令，则，…………………………………………………………………………………4分令，则，所以函数在上单调递增．…………………………………………………………………5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，………………6分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．……………………………7分所以．故整数的最大值是3．…………………………………………………………………………………8分（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………………………………9分所以当时，．……………………………………………………10分即．整理，得．……………………………………………11分因为，所以．……………………………………………12分即．即．…………………………………………………………………………13分所以．………………………………………………………………………………14分证明2：构造函数，………………………………………9分则．………………………………………………………………10分因为，所以．所以函数在上单调递增．………………………………………………………………11分因为，所以．所以．……………12分即．即．即．…………………………………………………………………………13分所以．………………………………………………………………………………14分变式训练1.设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．解（Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值．4分（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，若，则，若，则恒成立，则．不等式恒成立等价于在上恒成立，6分令，则，又令，则，∵，．①当时，，则在上单调递减，∴，∴在上单减，∴，即在上恒成立；8分②当时，．ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立；9分ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增∴，∴在