导数的应用4构造函数证明数列不等式.doc

(完整word版)导数的应用4——构造函数证明数列不等式
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导数的应用（四)--构造函数证明数列不等式

例1(选讲或练习）：求证+++…+
分析:令
则只需证明
构造函数则=〉0,
函数在(0,+）上单调递增。所以当时，有〉f（0)=0，
即有有
，,，…,
故：+++……+>+++……+
即+++……+

思考：为何要把化为？
参考：同样分析只需证构造函数：
则
在[1,）上为减函数
时〉…〉
由于没学过极限方法，所以建议用法一。一般若最值是x在无穷处的极限时，可考虑用t=代换构造新函数，若函数含分式且在分母X=0处极限为最值时也可用t=代换构造新函数
一般把目标化为证明：的形式，然后由于导数证明的最小值仅为
注：常用函数不等关系〈，用时需用导数证明,当且仅当x=0时取=

例2．已知函数
（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围;
（3)证明：
①上恒成立
解:（1）函数…………………（1分）
当时，则上是增函数…
②(重点讲练）……(2分）
当时，若时有………（3分)
若时有则上是增函数，
在上是减函数……………………（5分）
(2）法一：由（I）知时递增，而不成立，故……………………………………(7分）
又由（I）知，要使恒成立，
则即可。 由……………（9分）
解法二（分离变量法）：

(3）①证明；由（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立即恒成立。……（11分）
②证明：令,则,即，从而，
成立……（14分)
反思:
如何想到证明？关键是用分析法把右边看作和展开为n项，再大胆尝试通项比较。
记，则
(由等差性质知为等差数列），要证等式的首项都为0，都从第二项开始，所以只需证
法二：可考虑构造函数证其为增函数.

例3、设函数．
（I）求函数的极值点，并判断其为极大点还是极小值点;
（II）证明:
（利用p=1时II的结论）．
【答案】解:(1)，
，…………2分
令的变化情况如下表：
x（0,)+0－↗极大值↘从上表可以看出：当p〉0时，有唯一的极大值点．…………5分
（II）令p=1,由（I)知有唯一的极大值点，所以此时有最大值
(当且仅当x=1时取"="号)
∴,∴…………11分
∴

∴结论成立．…………14分
反思：要证式
的右边为,则
只需证

注：先考虑利用放缩法及常用函数，否则直接构造函数证明过于繁难。

例4已知函数
（１）试判断函数的单调性，并说明理由;
(２)若恒成立，求实数的取值范围；
（３）求证:。
(阶乘本质是数列前n项积的问题，可先证两边取对数的式子，即化为前n项和的问题)
解：(1）故在递减…3分
(2）记………5分

再令在上递增。
,从而故在上也单调递增
………8分
（3）方法1：由(2）知：恒成立，即
令则………10分
,,，…,
……12分
叠加得：

……14分

方法2：用数学归纳法证明(略）。

例5(选讲)、已知函数的最小值为,其中。
(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数的最小值；
（Ⅲ)证明.（利用（2）的结论

答案：（1)的定义域为

得：时，
(2）设
则在上恒成立（*)

①当时，与（＊)矛盾
②当时,符合（＊)
得:实数的最小值为
（3）由（2）得：对任意的值恒成立
取：
当时，得：
当时，
得：

例6(培优用)已知函数
（1)当且时，证明：；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明:．
.（1)证明：要证，即证，——------—-—---—-——-—1分
令则—-———---———-3分
∴在单调递增，，
，即成立．-—--———---—-—--————-—-4分
（2）解法一：由且可得———-—-——--—--—-—-—————-————---——--——--—5分
令---—-—---—---—-----——————---—---—————---—-———--—-—-——--——6分
由（1）知——--—-—--—--———-——--—--—-—-—--—----8分
函数在单调递增，当时，
．--—-————---———--———————-——-——————---——-——-—--—--——-—-——-——9分

【解法二:令,则，---——--—--—---—---—5分
当时，，函数在上是增函数，有，—--———6分
当时，∵函数在上递增，在上递减，
对,恒成立,只需，即．----—-——-—-—--—7分
当时，函数在上递减，对,恒成立,只需，
而，不合题意，—--—--—-———-—--——-—-——--—---------———-