“几何画板”在数学中的使用.docx

“几何画板”在数学中的使用摘要：指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，当底数a>1时，它们有无交点呢?当底数0在高中阶段的教学过程中，对函数图像的画法要求并不是很高，多数函数图像都只要求能作出简图就可以了，特别是求超越方程解的个数的时候，常转化为求函数图像交点的个数问题，只需画出其大致图像就可以解决。正因如此，我们就往往忽略了画出的函数图像要与实际大体相符，如果相差太远，不但使我们得不到正确的结果，甚至会产生一些错误的认识，就像前面提出的问题一样，如果我们认为底数a>1时，它们的图像无交点，底数0。关键词：巧解;函数图像;交点个数;几何画板一、问题的出现一天，一位学生问我：“指数函数y=ax(0)二、探索之旅1.寻找函数y=(1/16)x与y=log1/16x的图像的交点为了弄清楚这两个函数的图像究竟有多少个交点，我拿了一张A3纸，认真地去画这两个函数的图像，但相交部分太靠近了，怎么才能使画出的图像与实际图像相符呢?虽尽了最大努力画好后，也完全看不出还有其他交点的情况，只好作罢。后来在无意中发现，《几何画板》这个数学软件，有强大的函数作图能力，于是就想，是不是可以用它把两个函数的图像画出来，不就清楚了吗?赶紧打开《几何画板》，不一会便画出了两个函数的图像。然而没想到的是，它们的图像画出来也仍然如此，在中间一部分已基本重合在一起，究竟有多少个交点，完全看不清楚，又试图把图象放大一些，也无计于事。开始还以为是受分辨率影响，但后来已调到最佳状态，也不能清楚地显示出交点情况来。是不是就没有办法呢?不甘示弱的我沉闷了半晌，又想出了一个怪招，即把两个函数进行作差，构造成一个新的函数，即y=(1/16)x-log1/16x，画出它的图像。因为两个函数图像的交点个数就是这个新函数的根的个数，即新函数与x轴的交点个数，但图像与x轴相交的那一部分，依然不能看清，再一次以失败告终。我又仔细地对图像进行了观察，心想这个新图像应是有一部分在x轴上方，一部分在x轴的下方，才能说明它与x轴有交点，如果再把图像的.上下拉长，不就清楚了吗?于是又在函数前加了一个系数10，即利用《几何画板》画出了函数y=10[(1/16)x-log1/16x]的图像，终于清楚了一点，再把系数换成100，即又画出了函数y=100[(1/16)x-log1/16x]的图像，则完全清楚了，脸上终于露出了笑容。它的图像如右图所示，尽管它的差值被放大了100倍，但它的两个突起部分都仅有约1毫米高。2.探索函数y=ax与y=logax(0有了上面肯定的结论，我们便可以探寻这两类函数交点的个数变化情况，首先，将函数y=ax-logax中底数a逐渐增大，就会看到图像与x轴两边的交点逐渐向中间靠拢，直到a值约为0.065987时，即使图像振幅放大到10万倍，都不能看出是三个交点了，因此，此时的a值应是三个交点重合在一起的条件。如果将底数a值继续增大但要小于1时，则只有一个交点的特征就越来越明显，至此再无其他的交点。如果将底数a值逐渐缩小，则图像与x轴两边的交点逐渐向两边分开，左边一个逐渐靠近坐标原点，另一个靠近点(1，0)，其差值也增大，是三个交点的特征越来越明显。再来观察一下数值0.065987，它与(1/e)e(e为自然对数的底数，e≈2.71828…)的值非常接近，而当a取(1/e)e时，函数式变为y=e-ex+(1/e)lnx，此时函数与x轴的交点刚好为(1/e，0)，即方程(1/e)ex=-(1/e)lnx的解为1/e，所以这时两函数只有一个交点，这个交点为(1/e，1/e)，正好在直线y=x上。由此，可以得出函数y=ax与y=logax(03.探索函数y=ax与y=logax(a>1)的图像的交点个数变化情况当这两个函数的底数都大于1时，是否它们的图像就无交点呢?再次利用《几何画板》画出函数y=2x-log2x它们的图像，发现它与x轴并无交点，先把底数a的值缩小，如y=√2x-log√2x，它的图像与x轴就出现了两个交点，因此这两个函数的图像就应有两个交点了，当再次缩小时，这两个交点则更加明显，然后就增大底数，当底数a的值约为1.44467时，函数出现了一个交点，而这个值与e1/e很接近，而当a=e1/e时，函数解析式化为y=ex/e-elnx，此函数与x轴的交点为(e，0)，即两个函数图像的交点为(e，e)，也恰好在直线y=x上，若再增大，则最多只有两个交点。由以上分析知，对于函数y=ax与y=logax(a>1)而言，当底数a∈(1，e1/e)时，它们的图像有两个交点;而当底数a=e1/e时，它们的图像只有一个交点，当底数a∈(e1/e，+∞)时，它们的图像无交点。事实上，当底数a=1时，它们就是两条直线y=1和x=1