圆锥曲线定值问题.doc

(南通市2013届高三第一次调研测试数学I第19题)已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．所以，2a==，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为．(2)设A(，)，B(，)，则①，②．②－①，得．所以，k1=．(3)依题设，k1≠k2．设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得．于是，，．同理，，．当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==．直线MN的方程为，即，亦即．此时直线过定点．当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．综上，直线MN恒过定点，且坐标为．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题第18题）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且.（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点为线段的中点，M为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．解：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.（2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）第11题）已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．解所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而．则．所在直线的方程为，其中，同理可得．（1）当时，，，，，．又，故，于是△的面积，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为.（2），所在直线的方程为，即．又，即，代入上式，得，即．当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点．