三31 导数的概念及其运算.doc

3.1导数的概念及其运算姓名高三3班一轮复习讲义第页§3.1导数的概念及其运算2014高考会这样考1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1．平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式(1)(xα)＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axln_a(a>0且a≠1)；(3)(logax)′＝eq\f(1,x)logae＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(lnx)′＝eq\f(1,x)；(6)(sinx)′＝cos_x；(7)(cosx)′＝－sin_x.5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)．6．复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.一．自测1．f′(x)是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．5．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为____________________．二．典型例题题型一利用定义求函数的导数利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．变式。利用导数的定义，求：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1处的导数；(2)f(x)＝eq\f(1,x＋2)的导数．题型二导数的运算2.求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(4)y＝ln(2x＋5)．变式.求下列各函数的导数：(1)y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))；(2)y＝eq\f(cos2x,sinx＋cosx)；(3)y＝(1＋sinx)2；(4)y＝lneq\r(x2＋1).题型三导数的几何意义3.已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．课后作业一、填空题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.2．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________.3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．4．(2011·大纲全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．5．设函数f(x)的导数为