离散型随机变量的均值与方差.doc

2013—14高三数学（理系列1：学案主备人：姜顺根审核人：裴贤喜2014年3月7日总第77份第页共NUMPAGES6页第六节离散型随机变量的均值与方差一．考点梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．(2)方差称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均，其中为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝；(2)D(aX＋b)＝(a、b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝4.随机变量均值、方差的求法若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为：(1)先求出X的分布列．(2)求E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)利用公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，求方差D(X)．若随机变量X服从两点分布或二项分布，则直接利用均值方差公式可求．二．自我检测1．已知X的概率分布X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．2．某射手射击所得环数X的概率分布如下：X78910Px0.10.3y已知X的数学期望E(X)＝8.9，则y的值为________．3.设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则n，p的值分别为________．4.随机变量X的概率分布列由下表给出：x78910P(X＝x)0.30.350.20.15该随机变量X的均值是________．三．例题分析考向一离散型随机变量的均值与方差的求法【例1】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布表及数学期望E(X)、方差D(X)．【训练1】(2013·南京模拟)某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为eq\f(1,2).(1)若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X的概率分布和数学期望、方差；(2)假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？考向二均值与方差性质的应用【例2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的概率分布、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．【训练2】(2013·苏北四市调研)A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的概率分布表分别为：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．考向三均值与方差的实际应用【例3】(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【训练3】(2011·陕西卷)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.4