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离散型随机变量的均值与方差

考情分析考点新知
离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．
①了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．
②会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.
1.(选修23P67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在1h内平均占线10min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．
答案：eq\f(4,3)
解析：每个分机占线的概率为eq\f(1,6)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,6)))，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝8×eq\f(1,6)＝eq\f(4,3).
2.(选修23P66例2改编)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，则E(X)＝________，V(X)＝________.
答案：21.98
解析：X～B(200,0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98.
3.(选修23P71习题4改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X的均值为________．(填数字)
答案：1.24
解析：射击次数X的分布列为

X123P0.80.160.04∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.
4.(选修23P71习题1改编)随机变量X的分布列如下：

X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝eq\f(1,3)，则方差V(X)的值是________．
答案：eq\f(5,9)
解析：a、b、c成等差数列，有2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝eq\f(1,3).
得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴V(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).
5.一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．
答案：1.4
解析：随机变量ξ可能取的值为0、1、2、3.
依题意，得P(ξ＝0)＝0.15,P(ξ＝1)＝0.4，
P(ξ＝2)＝0.35，P(ξ＝3)＝0.1
∴ξ的分布列为

ξ0123P0.150.40.350.1∴它的期望为E(ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.

1.均值
(1)若离散型随机变量ξ的分布列为：

ξx1x2…xnPp1p2…pn则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为ξ的均值或数学期望，简称期望．
(2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)数学期望的性质．
E(c)＝c，E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b、c为常数)．
2.方差
(1)若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：
V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn为ξ的方差．
(2)σ＝eq\r(Vξ)，叫标准差．
(3)随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．
(4)方差的性质
a、b为常数，则V(aξ＋b)＝a2Vξ.
3.若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)．
4.期望与方差的关系
均值(期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2.
[备课札记]

题型1离散型随机变量的期望
例1已知离散型随机变量ξ1的概率分布为

ξ11234567Peq\f(1,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)eq