221椭圆及其标准方程.ppt

2．2椭圆2．2.1椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.1.本节的重点是椭圆的标准方程，坐标法的基本思想；难点是椭圆标准方程的推导与化简、坐标法的应用．2.本节充分体现了待定系数法、方程思想和数形结合思想的作用．因此很容易和三角、方程等内容结合出题.1．在圆柱形玻璃杯中盛半杯水，当杯体直立时，水面的边界是一个圆；当杯体倾斜一定角度时(水面与杯壁相交)，水面的边界就会变成另一种曲线，这种曲线将会给我们椭圆的直观形象．这一现象反映在数学上就是如果用一个与圆柱体轴线斜交的平面截这个圆柱，那么平面与这个圆柱侧面的交线就是椭圆，如图所示．但是，椭圆究竟是什么样的点的轨迹呢？2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线，并思考下面的问题：(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程答案：D解析：由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.答案：D[题后感悟](1)求曲线方程时，若能确定方程的形式，则可先设出所求曲线方程，然后借助已知条件得到含参数的方程，解方程求出参数的值，代回所设方程可得所求曲线的方程；(2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．解析：(1)如图所示，由已知：a＝5，△AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.答案：(2)A已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式，可求出动圆圆心的轨迹方程，进而确定出轨迹图形．[解题过程]由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径分别为C1(4,0)，r1＝13；C2(－4,0)，r2＝3.设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r①由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|＝r2＋r.②如图所示，由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16.即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可得动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为其焦点．由题意得c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.[题后感悟]解答与椭圆相关的求轨迹问题的一般思路是4.已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．解析：如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B，C，且原点O为BC的中点，由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10>6，1．椭圆定义的理解椭圆的定义用集合语言表示为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．注意“2a>|F1F2|”这一条件，若2a＝|F1F2|，则动点M的轨迹为线段F1F2；若2a<|F1F2|，则其轨迹不存在，此定义是推导椭圆方程的依据．2．椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为数学问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体或者配方等灵活应用．3．利用待定系数法确定椭圆的标准方程求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆方程一般式．(1)如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，那么可以利用待定系数法首先建立方程，然后依照题设条件，计算方程中a、b的值，从而确定方程，有时方程有两个．[特别提醒]没有明确指出椭圆与坐标系的相对位置时，一般考虑两解．【错因】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解的原因是忽略了对椭圆的焦